Questão 2 (2,5):
Seja a transformação linear definida por: . é injetora? Justifique. é sobrejetora? Justifique.
Passo 1
Resumindo, temos a transformação linear
Queremos saber se é injetora (ou seja, se ) e se é sobrejetora (ou seja, se ). Para isso vamos usar definição de núcleo, definição de imagem e o conceito de posto (rank) de uma matriz.
Passo 2
Para testar injetividade calculamos o núcleo, isto é, resolvemos
Passo 3
Da segunda equação temos . Substituindo na primeira,
Logo
que não é apenas o vetor nulo. Portanto não é injetora.
Passo 4
Para testar sobrejetividade calculamos o posto de . A matriz associada é
Como as duas linhas de não são múltiplos uma da outra, . Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,