Questão 2 (2,5):
Seja T: R^3 R^2 a transformação linear definida por: T(x, y, z)=(x-y-z, 2 z-x).
T é injetora? Justifique. T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

Resumindo, temos a transformação linear
Queremos saber se é injetora (ou seja, se ) e se é sobrejetora (ou seja, se ). Para isso vamos usar definição de núcleo, definição de imagem e o conceito de posto (rank) de uma matriz.

Passo 2

Para testar injetividade calculamos o núcleo, isto é, resolvemos
T(x,y,z) = (0,0) Long<=ftrightarrow x - y - z = 0, 2z - x = 0

Passo 3

Da segunda equação temos . Substituindo na primeira,
Logo
que não é apenas o vetor nulo. Portanto não é injetora.

Passo 4

Para testar sobrejetividade calculamos o posto de . A matriz associada é
Como as duas linhas de não são múltiplos uma da outra, . Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
que coincide com . Logo e é sobrejetora.

Resposta

T não é injetora e T é sobrejetora.

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