Para que valores de m o ponto P(3, m) é interior à circunferência x^2+y^2-6 x- 6 y+9=0 ?

Passo 1

O enunciado pede os valores de m para que o ponto P(3,m) seja interior à circunferência de equação
x^2+y^2-6x-6y+9=0
O conteúdo aqui é geometria analítica de circunferência e vamos usar o critério de interioridade via comparação entre distância do centro e raio.

Passo 2

Para achar centro e raio, completamos quadrados:
x^2-6x = (x-3)^2-9, y^2-6y = (y-3)^2-9
Substituindo na equação dada:
(x-3)^2-9 + (y-3)^2-9 +9 = 0 Longrightarrow (x-3)^2 + (y-3)^2 = 9
Logo o centro é C=(3,3) e o raio é R=3.

Passo 3

Um ponto (x0,y0) é interior se a distância ao centro satisfaz
raiz(x0-3)^2 + (y0-3)^2 < 3,
ou seja,
(x0-3)^2 + (y0-3)^2 < 9

Passo 4

No nosso caso (x0,y0)=(3,m), então
(3-3)^2 + (m-3)^2 = (m-3)^2
A condição interior vira
(m-3)^2 < 9
Isso equivale a
-3 < m - 3 < 3 Longrightarrow 0 < m < 6

Resposta

min(0,6).

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