Mostre que são transformações lineares
T: \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}, T(f)=f(0)+f(1)

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
\displaystyle T:\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\to\mathbb{R}
que associa a cada função f o valor
T(f)=f(0)+f(1).
Para mostrar que T é transformação linear, precisamos verificar duas propriedades para quaisquer f,g\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) e qualquer escalar c\in\mathbb{R}:
  1. Aditividade: T(f+g)=T(f)+T(g).
  2. Homogeneidade: T(c\,f)=c\,T(f).

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja f,g funções em \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}). Então
T(f+g)=(f+g)(0)+(f+g)(1)=\bigl(f(0)+g(0)\bigr)+\bigl(f(1)+g(1)\bigr).
Agrupando termos, obtemos
T(f+g)=\bigl(f(0)+f(1)\bigr)+\bigl(g(0)+g(1)\bigr)=T(f)+T(g).

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R}. Para a função escalada c\,f vale
T(c\,f)=(c\,f)(0)+(c\,f)(1)=c\,f(0)+c\,f(1)=c\bigl(f(0)+f(1)\bigr)=c\,T(f).

Resposta

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é transformação linear.

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