Mostre que são transformações lineares
T: \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \rightarrow V_{2}(\mathbb{R}), T(f)=(f(0), f(1))

Passo 1

O enunciado define a aplicação
T\colon \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) \to V_{2}(\mathbb{R}),\qquad T(f) = \bigl(f(0),\,f(1)\bigr).
Queremos mostrar que T é linear, ou seja, para quaisquer funções f,g\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) e escalares a,b\in\mathbb{R}, vale
T\bigl(a f + b g\bigr) \;=\; a\,T(f)\;+\;b\,T(g).

Passo 2

Vamos calcular diretamente T(a f + b g). Por definição,
T\bigl(a f + b g\bigr) = \bigl((a f + b g)(0),\,(a f + b g)(1)\bigr).
Como (a f + b g)(x)=a\,f(x)+b\,g(x), obtemos
T\bigl(a f + b g\bigr) = \bigl(a\,f(0)+b\,g(0),\;a\,f(1)+b\,g(1)\bigr).

Passo 3

Agora escrevemos a\,T(f)+b\,T(g). Como
T(f) = \bigl(f(0),\,f(1)\bigr), \quad T(g) = \bigl(g(0),\,g(1)\bigr),
segue
a\,T(f)+b\,T(g) = \bigl(a\,f(0),\,a\,f(1)\bigr) + \bigl(b\,g(0),\,b\,g(1)\bigr) = \bigl(a\,f(0)+b\,g(0),\,a\,f(1)+b\,g(1)\bigr).
Isso coincide exatamente com o resultado do passo anterior.

Resposta

Como mostramos que
T\bigl(a f + b g\bigr) = a\,T(f) + b\,T(g)
para quaisquer f,g e quaisquer escalares a,b, concluímos que T é de fato uma transformação linear.

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