Mostre que são transformações lineares
T: V_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), T\left(u_{1}, u_{2}\right)=u_{1} e^{t}+u_{2} e^{2 t}

Passo 1

O enunciado define a aplicação
T\colon V_{2}(\mathbb{R})\to \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}), \quad T\bigl(u_{1},u_{2}\bigr)(t)=u_{1}e^{t}+u_{2}e^{2t},
e pede para mostrar que T é linear. O conteúdo aqui é a definição de transformação linear, que exige verificar aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Lembrando a definição: uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para todos \mathbf{u},\mathbf{v}\in V_{2}(\mathbb{R}) e todo escalar \lambda\in\mathbb{R}, valem
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) \;=\; T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}),
T(\lambda\,\mathbf{u}) \;=\; \lambda\,T(\mathbf{u}).

Passo 3

Sejam \mathbf{u}=(u_{1},u_{2}) e \mathbf{v}=(v_{1},v_{2}). Então
\mathbf{u}+\mathbf{v} = (u_{1}+v_{1},\,u_{2}+v_{2})
e
T(\mathbf{u}+\mathbf{v})(t) = (u_{1}+v_{1})e^{t} + (u_{2}+v_{2})e^{2t} = u_{1}e^{t}+u_{2}e^{2t} + v_{1}e^{t}+v_{2}e^{2t}.
Mas isso é exatamente
T(\mathbf{u})(t) + T(\mathbf{v})(t),
logo T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}).

Passo 4

Para escalar \lambda\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(u_{1},u_{2}), temos
\lambda\,\mathbf{u} = (\lambda u_{1},\,\lambda u_{2}),
T(\lambda\,\mathbf{u})(t) = (\lambda u_{1})e^{t} + (\lambda u_{2})e^{2t} = \lambda\bigl(u_{1}e^{t}+u_{2}e^{2t}\bigr) = \lambda\,T(\mathbf{u})(t).
Logo T(\lambda\,\mathbf{u}) = \lambda\,T(\mathbf{u}).

Resposta

Como T preserva soma e multiplicação por escalar, T é transformação linear.

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