Seja P(\mathbb{R}) os espaço vetorial dos polinômios em \mathbb{R} com as operações usuais de soma e multiplicação por número real. Verifique quais das transformações a seguir são lineares.
T: P(\mathbb{R}) \rightarrow P(\mathbb{R}), T(p(x))=x p(x)

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial P(\mathbb{R}) dos polinômios com coeficientes reais e a transformação
T\colon P(\mathbb{R}) \to P(\mathbb{R}),\quad T\bigl(p(x)\bigr)=x\,p(x).
Queremos checar se T satisfaz a definição de transformação linear, ou seja, para quaisquer polinômios p,q e escalar \alpha vale
T(p+q)=T(p)+T(q) \quad\text{e}\quad T(\alpha p)=\alpha\,T(p).

Passo 2

Verificação da aditividade:
Para quaisquer p,q\in P(\mathbb{R}),
T\bigl(p+q\bigr)(x) = x\bigl(p(x)+q(x)\bigr) = x\,p(x) + x\,q(x) = T\bigl(p\bigr)(x) + T\bigl(q\bigr)(x).
Logo T(p+q)=T(p)+T(q).

Passo 3

Verificação da homogeneidade:
Para qualquer \alpha\in\mathbb{R} e p\in P(\mathbb{R}),
T\bigl(\alpha p\bigr)(x) = x\bigl(\alpha\,p(x)\bigr) = \alpha\bigl(x\,p(x)\bigr) = \alpha\,T\bigl(p\bigr)(x).
Logo T(\alpha p)=\alpha\,T(p).

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é de fato uma transformação linear.

Resposta

T é linear.

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