Seja
os espaço vetorial dos polinômios em
com as operações usuais de soma e multiplicação por número real. Verifique quais das transformações a seguir são lineares.
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço vetorial
dos polinômios reais com as operações usuais. Foi dada a transformação
Para mostrar que
é linear, precisamos verificar as duas propriedades:
- Aditividade:
. - Homogeneidade:
.
Passo 2
Verificação da aditividade. Para quaisquer
vale
Passo 3
Verificação da homogeneidade. Para qualquer escalar
e
temos
Passo 4
Como as duas propriedades—aditividade e homogeneidade—estão satisfeitas, concluímos que
é uma transformação linear.
Resposta
A transformação
é linear.