Seja P(\mathbb{R}) os espaço vetorial dos polinômios em \mathbb{R} com as operações usuais de soma e multiplicação por número real. Verifique quais das transformações a seguir são lineares.
T: P(\mathbb{R}) \rightarrow P(\mathbb{R}), T(p(x))=p(x+1)-p(x)

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial P(\mathbb{R}) dos polinômios reais com as operações usuais. Foi dada a transformação
T\colon P(\mathbb{R})\to P(\mathbb{R}),\quad T\bigl(p(x)\bigr)=p(x+1)-p(x).
Para mostrar que T é linear, precisamos verificar as duas propriedades:
  1. Aditividade: T(p+q)=T(p)+T(q).
  2. Homogeneidade: T(\alpha p)=\alpha\,T(p).

Passo 2

Verificação da aditividade. Para quaisquer p,q\in P(\mathbb{R}) vale
T(p+q)= (p+q)(x+1)-(p+q)(x) = p(x+1)+q(x+1)-p(x)-q(x) = \bigl[p(x+1)-p(x)\bigr]+\bigl[q(x+1)-q(x)\bigr] = T(p)+T(q).

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Para qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R} e p\in P(\mathbb{R}) temos
T(\alpha p) = (\alpha p)(x+1)-(\alpha p)(x) = \alpha\,p(x+1)-\alpha\,p(x) = \alpha\bigl[p(x+1)-p(x)\bigr] = \alpha\,T(p).

Passo 4

Como as duas propriedades—aditividade e homogeneidade—estão satisfeitas, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

A transformação T(p(x))=p(x+1)-p(x) é linear.

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