Resolva as equações separáveis:
y^prime=x e^x+y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx=x e^x+y
Este é um caso de equação de variáveis separáveis: podemos escrever a parte que depende de y num lado e a parte que depende de x no outro.

Passo 2

Reescrevendo o lado direito como produto de funções de x e y, temos
dydx=x,e^x,e^y,
logo podemos separar as variáveis assim:
dye^y=x,e^x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral e^-y,dy=integral x,e^x,dx
No lado esquerdo vale
integral e^-y,dy=-e^-y,
e no direito usamos integração por partes com u=x, dv=e^x,dx, obtendo
integral x,e^x,dx = x,e^x - integral e^x,dx = x,e^x - e^x + C
Assim ficamos com
-,e^-y=x,e^x - e^x + C

Passo 4

Multiplicando por -1 e reagrupando constante, definimos K=-C para obter
e^-y=e^x - x,e^x + K = e^x(1 - x) + K
Esta é a forma implícita da solução geral.

Passo 5

Se quisermos a forma explícita em y, basta tomar logaritmo natural (supondo e^x(1-x)+K>0):
-y=lnl(e^x(1 - x)+Kr) Longrightarrow y=-lnl(e^x(1 - x)+Kr)

Resposta

boxede^-y=e^x(1 - x)+K, KinR
ou equivalentemente
boxedy=-lnl(e^x(1 - x)+Kr), KinR

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