Mostre que a seguinte equação possui exatamente uma raiz e que está no intervalo [0,5 ; 1]. Determine uma aproximação para essa raiz realizando duas iterações do método da bissecção.
x^2+ln (x)=0

Passo 1

Beleza, a gente quer resolver a equação

no intervalo .
Matéria envolvida:
  1. Teorema do Valor Intermediário (TVI) pra garantir existência de raiz.
  2. Derivada pra mostrar unicidade (monotonicidade).
  3. Método da bissecção pra aproximar a raiz em duas iterações.
Vai ser assim: primeiro checar sinais em 0,5 e 1 (TVI), depois ver que a função só cresce (f′>0), e por fim aplicar bissecção duas vezes.

Passo 2

Definimos
f(x) = x^2 + ln(x)
  1. TVI: f(0,5) = (0,5)^2 + ln(0,5) = 0,25 - 0,6931approx -0,4431 < 0 é contínua em f(1) = 1^2 + ln(1) = 1 + 0 = 1 > 0 .
    • Em f'(x) = 2x + 1x para x>0 :
    • Em :
    Como , por TVI existe pelo menos uma raiz em .
  2. Unicidade:
Note que sempre, então é estritamente crescente em . Assim só pode haver uma raiz em todo , logo exatamente uma em .

Passo 3

Agora, bissecção – iteração 1:
Intervalo inicial: c1 = 0,5 + 12 = 0,75 .
Ponto médio:
f(0,75) = (0,75)^2 + ln(0,75) = 0,5625 - 0,2877 approx 0,2748 > 0
Calcula [a1,b1] = [0,5,,0,75] :
Temos e , então a raiz está em

Passo 4

Iteração 2:
Intervalo agora c2 = 0,5 + 0,752 = 0,625 .
Ponto médio:
f(0,625) = (0,625)^2 + ln(0,625) = 0,3906 - 0,4700 approx -0,0794 < 0
Calcula [a2,b2] = [0,625,,0,75] :
Agora e , então a raiz está em

Resposta

Depois de duas iterações pelo método da bissecção, a raiz de x approx 0,625 + 0,752 = 0,6875 está em e a aproximação central é

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