Mostre que a seguinte equação possui exatamente uma raiz e que está no intervalo
. Determine uma aproximação para essa raiz realizando duas iterações do método da bissecção.
Passo 1
Beleza, a gente quer resolver a equação
no intervalo .
Matéria envolvida:
no intervalo
Matéria envolvida:
- Teorema do Valor Intermediário (TVI) pra garantir existência de raiz.
- Derivada pra mostrar unicidade (monotonicidade).
- Método da bissecção pra aproximar a raiz em duas iterações.
Vai ser assim: primeiro checar sinais em 0,5 e 1 (TVI), depois ver que a função só cresce (f′>0), e por fim aplicar bissecção duas vezes.
Passo 2
Definimos
-
TVI:
é contínua em . - Em
: - Em
:
Como, por TVI existe pelo menos uma raiz em . - Em
-
Unicidade:
Note que
sempre, então
é estritamente crescente em
. Assim só pode haver uma raiz em todo
, logo exatamente uma em
.
Passo 3
Agora, bissecção – iteração 1:
Intervalo inicial: .
Ponto médio:
Intervalo inicial:
Ponto médio:
Calcula
:
Temos
e
, então a raiz está em
Passo 4
Iteração 2:
Intervalo agora .
Ponto médio:
Intervalo agora
Ponto médio:
Calcula
:
Agora
e
, então a raiz está em
Resposta
Depois de duas iterações pelo método da bissecção, a raiz de
está em
e a aproximação central é