A tabela seguinte apresenta a velocidade de queda de um paraquedista em função do tempo:
|c|c|c|c|c|c| hline$t(s)$ & 1 & 3 & 5 & 7 & 20 hline$v(cm / s)$ & 800 & 2310 & 3090 & 3940 & 8000 hline 1 3 5 7 20
t=4 s 800 2310 3090 3940 8000
Estime a velocidade no instante de tempo , utilizando um polinômio interpolador de grau 3 (são necessários 4 pontos);

Passo 1

Beleza, o exercício mostra uma tabelinha que dá a velocidade |c|c|c|c|c|c| hline (t) (s) & 1 & 3 & 5 & 7 & 20 hline (v) (cm/s) & 800 & 2310 & 3090 & 3940 & 8000 hline (em cm/s) de um paraquedista em certos instantes (em s):
(s) 1 3 5 7 20
(cm/s) 800 2310 3090 3940 8000
O conteúdo aqui é interpolação polinomial de grau 3 (a gente vai achar um polinômio de grau 3 que “passe” por quatro desses pontinhos) e depois estimar em . Para isso, vamos usar a forma de Lagrange, que só precisa dos pares .

Passo 2

Primeiro escolho quatro pontos “próximos” de (t1,v1)=(1,800), (t2,v2)=(3,2310), (t3,v3)=(5,3090), (t4,v4)=(7,3940) :
P3(t)=sumj=1^4 vj,Lj(t)
A ideia da interpolação de Lagrange é montar um polinômio
Lj(t)=prodsubstackm=1mneq j^4t - tmtj - tm
onde cada base vale 1 no ponto e 0 nos outros . A fórmula é

Passo 3

Vamos avaliar cada L1(4) =(4-3)(4-5)(4-7)(1-3)(1-5)(1-7) =1cdot(-1)cdot(-3)(-2)cdot(-4)cdot(-6) =3-48 =-tfrac116 em L2(4) =(4-1)(4-5)(4-7)(3-1)(3-5)(3-7) =3cdot(-1)cdot(-3)2cdot(-2)cdot(-4) =tfrac916, . Para L3(4) =(4-1)(4-3)(4-7)(5-1)(5-3)(5-7) =3cdot1cdot(-3)4cdot2cdot(-2) =tfrac916, (com L4(4) =(4-1)(4-3)(4-5)(7-1)(7-3)(7-5) =3cdot1cdot(-1)6cdot4cdot2 =-tfrac116 ) dá:
Análogo para os outros:

Passo 4

Agora montamos P3(4) =sumj=1^4 vj,Lj(4) =800l(-tfrac116r) +2310l(tfrac916r) +3090l(tfrac916r) +3940l(-tfrac116r) :
800cdotl(-tfrac116r)=-50, 2310cdot916=1299,375, 3090cdot916=1738,125, 3940cdotl(-tfrac116r)=-246,25
Calculando cada termo:
P3(4)=-50+1299,375+1738,125-246,25 =2741,25 cm/s
Somando tudo:

Resposta

A velocidade estimada em boxed2741,25 cm/s pelo polinômio interpolador de grau 3 é aproximadamente

Exercícios relacionados