Usando a serie de Maclaurin das funções e^x, e^-x^2, sin (x), cos (x), tan ^-1(x), ln (1+x) e(1+x)^-1 / 2, calcule os limites
lim x 0 2 ln (1+x)-2 x+x^2x^3

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto02ln(1+x)-2x+x^2x^3
Vamos usar a série de Maclaurin de ln(1+x) até ordem x^3 para aproximar o numerador e então calcular o limite.

Passo 2

A série de Maclaurin de ln(1+x) é
ln(1+x)=x-x^22+x^33+O(x^4)
Multiplicando por 2, temos
2ln(1+x)=2x - x^2 + 2x^33 + O(x^4)
Agora formamos o numerador:
2ln(1+x)-2x+x^2 = l(2x - x^2 + tfrac2x^33 + O(x^4)r) -2x + x^2 = 2x^33 + O(x^4)

Passo 3

Substituindo no quociente,
2ln(1+x)-2x+x^2x^3 = tfrac2x^33+O(x^4)x^3 = 23 + O(x)
Fazendo xto0, a parte O(x) some, restando tfrac23.

Resposta

23

Exercícios relacionados