Mostre que a seguinte função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta.
x y f(x, y)
-1 -2 1 / 8
-0,5 -1 1 / 4
0,5 1 1 / 2
1 2 1 / 8
Determine
a) P(X<0.5, Y<1.5)
b) P(X<0.5)
c) P(Y<1.5)
d) P(X>0.25, Y<4.5)
e) E(X), E(Y), V(X), V(Y).
f) As distribuições de probabilidades marginais da variável aleatória X.
g) As distribuições de probabilidades marginais da variável aleatória Y.
h) A distribuição de probabilidade condicional de Y dado que X=1.
i) A distribuição de probabilidade condicional de X dado que Y=1.
j) E(X \mid Y=1)
k) X e Y são independentes?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores da tabela fornecida).
Informações dadas (pares (X,Y) e suas probabilidades):
  • (X,Y)=(-1,-2) com f(-1,-2)=\dfrac{1}{8}.
  • (X,Y)=(-0,5,-1) com f(-0,5,-1)=\dfrac{1}{4}.
  • (X,Y)=(0,5,1) com f(0,5,1)=\dfrac{1}{2}.
  • (X,Y)=(1,2) com f(1,2)=\dfrac{1}{8}.
O enunciado pede:
a) P(X<0,5,\; Y<1,5)
b) P(X<0,5)
c) P(Y<1,5)
d) P(X>0,25,\; Y<4,5)
e) E(X),\; E(Y),\; V(X),\; V(Y)
f) Distribuição marginal de X (i.e. P(X=x) para cada x possível)
g) Distribuição marginal de Y (i.e. P(Y=y) para cada y possível)
h) Distribuição condicional de Y dado X=1 (i.e. P(Y=y\mid X=1))
i) Distribuição condicional de X dado Y=1 (i.e. P(X=x\mid Y=1))
j) E(X\mid Y=1)
k) Verificar se X e Y são independentes.
Nada mais será assumido; vamos usar apenas os quatro pares fornecidos.

Passo 2

Verificar que a tabela é uma função de probabilidade conjunta válida. Regras para uma função de massa de probabilidade conjunta discreta f_{X,Y}(x,y):
  • Todo valor deve ser não negativo: f_{X,Y}(x,y)\ge 0 para todo (x,y).
  • A soma de todas as probabilidades deve ser 1: \sum_{x}\sum_{y} f_{X,Y}(x,y)=1.
Aplicando ao caso:
  • Todos os valores listados são positivos ( \dfrac{1}{8},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{8}), então a primeira condição está satisfeita.
  • Somando:
\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{4}{8}+\dfrac{1}{8} = \dfrac{8}{8}=1.
Portanto a soma é 1 e a tabela satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta.

Passo 3

Explicar fórmulas e métodos que vou usar (passo-a-passo, tipo “aula rápida”).
  • Probabilidade de um evento que envolve X e Y: somar f_{X,Y}(x,y) sobre os pares (x,y) que satisfazem o evento. Ex.: P(X\in A, Y\in B)=\sum_{x\in A}\sum_{y\in B} f_{X,Y}(x,y).
  • Marginal de X: P(X=x)=\sum_{y} f_{X,Y}(x,y). Marginal de Y: P(Y=y)=\sum_{x} f_{X,Y}(x,y).
  • Condicional: P(Y=y\mid X=x)=\dfrac{f_{X,Y}(x,y)}{P(X=x)} se P(X=x)>0. Similarmente P(X=x\mid Y=y)=\dfrac{f_{X,Y}(x,y)}{P(Y=y)}.
  • Esperança (valor esperado) para variável discreta X: E(X)=\sum_x x\,P(X=x). Para Y: E(Y)=\sum_y y\,P(Y=y).
  • Variância: V(X)=\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2, onde E(X^2)=\sum_x x^2 P(X=x).
Vou aplicar essas fórmulas diretamente aos quatro pares da tabela. Em cada soma só aparecem os pares fornecidos (os demais pares têm probabilidade zero).

Passo 4

Calcular as probabilidades pedidas (lembre: checar quais pares satisfazem as desigualdades).
a) P(X<0,5,\;Y<1,5).
  • Valores de X menores que 0,5 são X=-1 e X=-0,5.
  • Valores de Y menores que 1,5 são Y=-2,\,-1,\,1.
    Verificar os pares da tabela que satisfazem ambas as condições: (-1,-2) e (-0,5,-1). Os pares (0,5,1) e (1,2) não satisfazem ( X=0,5 não é estritamente menor que 0,5; Y=2 não é menor que 1,5).
    Somando as probabilidades:
P(X<0,5,\;Y<1,5)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{8}.
b) P(X<0,5).
  • X<0,5 inclui X=-1 e X=-0,5. Somar todas as probabilidades com esses X:
P(X<0,5)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{8}.
c) P(Y<1,5).
  • Y<1,5 inclui Y=-2,-1,1. Os pares na tabela com esses Y são (-1,-2),(-0,5,-1),(0,5,1). Somando:
P(Y<1,5)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{8}.
d) P(X>0,25,\;Y<4,5).
  • X>0,25 inclui X=0,5 e X=1.
  • Y<4,5 inclui todos os Y da tabela (porque 2<4,5). Então os pares correspondentes são (0,5,1) e (1,2). Somando:
P(X>0,25,\;Y<4,5)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{5}{8}.

Passo 5

Determinar as distribuições marginais (já previstas no passo 3, agora calculadas explicitamente).
Marginal de X:
  • P(X=-1)=f(-1,-2)=\dfrac{1}{8}.
  • P(X=-0,5)=f(-0,5,-1)=\dfrac{1}{4}.
  • P(X=0,5)=f(0,5,1)=\dfrac{1}{2}.
  • P(X=1)=f(1,2)=\dfrac{1}{8}.
Marginal de Y:
  • P(Y=-2)=f(-1,-2)=\dfrac{1}{8}.
  • P(Y=-1)=f(-0,5,-1)=\dfrac{1}{4}.
  • P(Y=1)=f(0,5,1)=\dfrac{1}{2}.
  • P(Y=2)=f(1,2)=\dfrac{1}{8}.
(Observação simpática: as marginais aqui coincidentemente têm os mesmos valores numéricos nas posições correspondentes, mas atente que os argumentos x e y são diferentes.)

Passo 6

Calcular E(X) e E(Y).
Usando E(X)=\sum_x x\,P(X=x):
E(X)=(-1)\cdot\dfrac{1}{8}+(-0,5)\cdot\dfrac{1}{4}+(0,5)\cdot\dfrac{1}{2}+(1)\cdot\dfrac{1}{8}.
Calcule passo a passo (em oitavos):
-1\cdot\dfrac{1}{8}=-\dfrac{1}{8},\quad -0,5\cdot\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{8},\quad 0,5\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{8},\quad 1\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{8}.
Somando:
E(X)=-\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{8}.
Portanto E(X)=\dfrac{1}{8}.
Agora E(Y)=\sum_y y\,P(Y=y):
E(Y)=(-2)\cdot\dfrac{1}{8}+(-1)\cdot\dfrac{1}{4}+1\cdot\dfrac{1}{2}+2\cdot\dfrac{1}{8}.
Calcule:
-2\cdot\dfrac{1}{8}=-\dfrac{1}{4},\quad -1\cdot\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4},\quad 1\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2},\quad 2\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}.
Somando:
E(Y)=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}.
Portanto E(Y)=\dfrac{1}{4}.

Passo 7

Calcular V(X) e V(Y) via V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2.
Primeiro E(X^2)=\sum_x x^2 P(X=x):
E(X^2)=(-1)^2\cdot\dfrac{1}{8}+(-0,5)^2\cdot\dfrac{1}{4}+(0,5)^2\cdot\dfrac{1}{2}+1^2\cdot\dfrac{1}{8}.
Calcule cada termo:
1\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{8},\quad 0,25\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{16},\quad 0,25\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8},\quad 1\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{8}.
Somando (em 16 avos):
E(X^2)=\dfrac{2}{16}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{2}{16}+\dfrac{2}{16}=\dfrac{7}{16}.
Já temos E(X)=\dfrac{1}{8}, então
V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\dfrac{7}{16}-\left(\dfrac{1}{8}\right)^2=\dfrac{7}{16}-\dfrac{1}{64}=\dfrac{27}{64}.
Agora E(Y^2)=\sum_y y^2 P(Y=y):
E(Y^2)=(-2)^2\cdot\dfrac{1}{8}+(-1)^2\cdot\dfrac{1}{4}+1^2\cdot\dfrac{1}{2}+2^2\cdot\dfrac{1}{8}.
Calcule:
4\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2},\quad 1\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4},\quad 1\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2},\quad 4\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}.
Somando:
E(Y^2)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{4}.
Temos E(Y)=\dfrac{1}{4}, então
V(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2=\dfrac{7}{4}-\left(\dfrac{1}{4}\right)^2=\dfrac{7}{4}-\dfrac{1}{16}=\dfrac{27}{16}.

Passo 8

Distribuições condicionais pedidas (usar P(Y=y\mid X=x)=\dfrac{f_{X,Y}(x,y)}{P(X=x)}).
h) Distribuição de Y dado X=1.
  • Primeiro P(X=1)=\dfrac{1}{8} (já calculado). O único par com X=1 é (1,2) com probabilidade \dfrac{1}{8}.
    Assim
P(Y=2\mid X=1)=\dfrac{\tfrac{1}{8}}{\tfrac{1}{8}}=1.
E para qualquer outro y, P(Y=y\mid X=1)=0. Ou seja, dado X=1, Y é certamente 2.
i) Distribuição de X dado Y=1.
  • Primeiro P(Y=1)=\dfrac{1}{2}. O único par com Y=1 é (0,5,1) com probabilidade \dfrac{1}{2}.
    Assim
P(X=0,5\mid Y=1)=\dfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}=1,
e para qualquer outro x, P(X=x\mid Y=1)=0. Ou seja, dado Y=1, X é certamente 0,5.

Passo 9

Calcular E(X\mid Y=1).
Como visto no passo 8, a distribuição condicional de X dado Y=1 é degenerate em X=0,5, então
E(X\mid Y=1)=0,5.

Passo 10

Verificar independência entre X e Y.
Definição: X e Y são independentes se, para todo x,y,
f_{X,Y}(x,y)=P(X=x)\,P(Y=y).
Basta encontrar um contraexemplo. Por exemplo, para x=0,5 e y=1:
f_{X,Y}(0,5,1)=\dfrac{1}{2},
mas
P(X=0,5)\,P(Y=1)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}.
Como \dfrac{1}{2}\neq \dfrac{1}{4}, não vale a igualdade para esse par, logo X e Y não são independentes.

Resposta

a) \dfrac{3}{8}
b) \dfrac{3}{8}
c) \dfrac{7}{8}
d) \dfrac{5}{8}
e) E(X)=\dfrac{1}{8},\; E(Y)=\dfrac{1}{4},\; V(X)=\dfrac{27}{64},\; V(Y)=\dfrac{27}{16}
f) P(X=-1)=\dfrac{1}{8},\; P(X=-0,5)=\dfrac{1}{4},\; P(X=0,5)=\dfrac{1}{2},\; P(X=1)=\dfrac{1}{8}
g) P(Y=-2)=\dfrac{1}{8},\; P(Y=-1)=\dfrac{1}{4},\; P(Y=1)=\dfrac{1}{2},\; P(Y=2)=\dfrac{1}{8}
h) P(Y=2\mid X=1)=1 (outros y: 0)
i) P(X=0,5\mid Y=1)=1 (outros x: 0)
j) E(X\mid Y=1)=0,5
k) Não; X e Y não são independentes.

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