Mostre que a seguinte função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta.
-1
-2
-1
0,5
1
1
2
Determine
a)
b)
c)
d)
e)
.
f) As distribuições de probabilidades marginais da variável aleatória
.
g) As distribuições de probabilidades marginais da variável aleatória
.
h) A distribuição de probabilidade condicional de
dado que
.
i) A distribuição de probabilidade condicional de
dado que
.
j)
k)
e
são independentes?
|
|
|
|
| -1 | -2 |
|
|
|
-1 |
|
| 0,5 | 1 |
|
| 1 | 2 |
|
a)
b)
c)
d)
e)
f) As distribuições de probabilidades marginais da variável aleatória
g) As distribuições de probabilidades marginais da variável aleatória
h) A distribuição de probabilidade condicional de
i) A distribuição de probabilidade condicional de
j)
k)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores da tabela fornecida).
Informações dadas (pares
e suas probabilidades):
-
com . -
com . -
com . -
com .
O enunciado pede:
a)
b)
c)
d)
e)
f) Distribuição marginal de (i.e.
para cada
possível)
g) Distribuição marginal de (i.e.
para cada
possível)
h) Distribuição condicional de dado
(i.e.
)
i) Distribuição condicional de dado
(i.e.
)
j)
k) Verificar se e
são independentes.
a)
b)
c)
d)
e)
f) Distribuição marginal de
g) Distribuição marginal de
h) Distribuição condicional de
i) Distribuição condicional de
j)
k) Verificar se
Nada mais será assumido; vamos usar apenas os quatro pares fornecidos.
Passo 2
Verificar que a tabela é uma função de probabilidade conjunta válida. Regras para uma função de massa de probabilidade conjunta discreta
:
- Todo valor deve ser não negativo:
para todo . - A soma de todas as probabilidades deve ser
: .
Aplicando ao caso:
- Todos os valores listados são positivos (
), então a primeira condição está satisfeita. - Somando:
Portanto a soma é
e a tabela satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta.
Passo 3
Explicar fórmulas e métodos que vou usar (passo-a-passo, tipo “aula rápida”).
-
Probabilidade de um evento que envolve
e : somar sobre os pares que satisfazem o evento. Ex.: . -
Marginal de
: . Marginal de : . -
Condicional:
se . Similarmente . -
Esperança (valor esperado) para variável discreta
: . Para : . -
Variância:
, onde .
Vou aplicar essas fórmulas diretamente aos quatro pares da tabela. Em cada soma só aparecem os pares fornecidos (os demais pares têm probabilidade zero).
Passo 4
Calcular as probabilidades pedidas (lembre: checar quais pares satisfazem as desigualdades).
a)
.
- Valores de
menores que são e . - Valores de
menores que são .
Verificar os pares da tabela que satisfazem ambas as condições:e . Os pares e não satisfazem ( não é estritamente menor que ; não é menor que ).
Somando as probabilidades:
b)
.
-
inclui e . Somar todas as probabilidades com esses :
c)
.
-
inclui . Os pares na tabela com esses são . Somando:
d)
.
-
inclui e . -
inclui todos os da tabela (porque ). Então os pares correspondentes são e . Somando:
Passo 5
Determinar as distribuições marginais (já previstas no passo 3, agora calculadas explicitamente).
Marginal de
:
-
. -
. -
. -
.
Marginal de
:
-
. -
. -
. -
.
(Observação simpática: as marginais aqui coincidentemente têm os mesmos valores numéricos nas posições correspondentes, mas atente que os argumentos
e
são diferentes.)
Passo 6
Calcular
e
.
Usando
:
Calcule passo a passo (em oitavos):
Somando:
Portanto
.
Agora
:
Calcule:
Somando:
Portanto
.
Passo 7
Calcular
e
via
.
Primeiro
:
Calcule cada termo:
Somando (em 16 avos):
Já temos
, então
Agora
:
Calcule:
Somando:
Temos
, então
Passo 8
Distribuições condicionais pedidas (usar
).
h) Distribuição de
dado
.
- Primeiro
(já calculado). O único par com é com probabilidade .
Assim
E para qualquer outro
,
. Ou seja, dado
,
é certamente
.
i) Distribuição de
dado
.
- Primeiro
. O único par com é com probabilidade .
Assim
e para qualquer outro
,
. Ou seja, dado
,
é certamente
.
Passo 9
Calcular
.
Como visto no passo 8, a distribuição condicional de
dado
é degenerate em
, então
Passo 10
Verificar independência entre
e
.
Definição:
e
são independentes se, para todo
,
Basta encontrar um contraexemplo. Por exemplo, para
e
:
mas
Como
, não vale a igualdade para esse par, logo
e
não são independentes.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) (outros
:
)
i) (outros
:
)
j)
k) Não; e
não são independentes.
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k) Não;