Obtenha o gráfico do cilindro com geratriz paralela ao eixo z e diretriz sendo a circunferência x^2+y^2=1 no plano coordenado xy.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para a gente obter o gráfico de um cilindro cuja geratriz (a linha que forma o cilindro) é paralela ao eixo z. A diretriz desse cilindro é a circunferência x^2+y^2=1 no plano coordenado xy. Para isso, vamos precisar entender como uma geratriz paralela ao eixo z e uma diretriz circular definem o cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma geratriz. Em um cilindro, a geratriz é uma reta que, movendo-se paralelamente a si mesma, gera toda a superfície do cilindro. Como a geratriz é paralela ao eixo z, isso significa que ela tem a mesma direção que o eixo vertical.

Passo 3

Agora, a diretriz é a curva que a geratriz percorre para formar o cilindro. No nosso caso, a diretriz é a circunferência x^2+y^2=1 no plano xy. Essa circunferência está centrada na origem e tem raio 1.

Passo 4

Para formar o cilindro, vamos “empurrar” a circunferência para cima e para baixo ao longo do eixo z. Isso significa que, para qualquer valor de z, a equação x^2+y^2=1 se mantém. Portanto, a posição de z não afeta a forma da circunferência.

Passo 5

Assim, a equação do cilindro é simplesmente a equação da circunferência original, mas agora válida para qualquer z. Ou seja, o cilindro é formado por todos os pontos (x, y, z) que satisfazem x^2+y^2=1, independente de z.

Resposta

A equação do cilindro é x^2 + y^2 = 1, válido para todo z in R.

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