Mostre que o seguinte método tem convergência de terceira ordem para calcular \sqrt{R}, para todo R>0 :
x_{n+1}=\frac{x_{n}\left(x_{n}^{2}+3 R\right)}{3 x_{n}^{2}+R}

Passo 1

O enunciado define a iteração
x_{n+1}=\frac{x_{n}(x_{n}^{2}+3R)}{3x_{n}^{2}+R}
para aproximar \sqrt{R}. Vamos mostrar que, definindo \alpha=\sqrt{R} e o erro e_{n}=x_{n}-\alpha, a relação assintótica entre e_{n+1} e e_{n} é
e_{n+1}=C\,e_{n}^{3}+O(e_{n}^{4}),
com C\neq0, o que garante convergência de ordem 3.

Passo 2

Verificamos que \alpha=\sqrt{R} é ponto fixo da iteração. Substituindo x_n=\alpha obtemos
x_{n+1} =\frac{\alpha(\alpha^2+3R)}{3\alpha^2+R} =\frac{\alpha(R+3R)}{3R+R} =\frac{4R\alpha}{4R} =\alpha.

Passo 3

Escrevemos x_n=\alpha+e_n e expandimos numerador e denominador em série de potências de e_n. O numerador fica
(\alpha+e_n)\bigl((\alpha+e_n)^2+3\alpha^2\bigr) =4\alpha^3+6\alpha^2e_n+3\alpha e_n^2+e_n^3,
e o denominador
3(\alpha+e_n)^2+\alpha^2 =4\alpha^2+6\alpha e_n+3e_n^2.
Logo
x_{n+1} =\frac{4\alpha^3+6\alpha^2e_n+3\alpha e_n^2+e_n^3} {4\alpha^2+6\alpha e_n+3e_n^2}.
Fatorando 4\alpha^2 e desenvolvendo em série até O(e_n^3), obtemos
x_{n+1} =\alpha\frac{1+\frac{3e_n}{2\alpha}+\frac{3e_n^2}{4\alpha^2}+\frac{e_n^3}{4\alpha^3}} {1+\frac{3e_n}{2\alpha}+\frac{3e_n^2}{4\alpha^2}} =\alpha\Bigl(1+\frac{e_n^3}{4\alpha^3}+O(e_n^4)\Bigr).

Passo 4

Da expansão acima conclui-se que
e_{n+1}=x_{n+1}-\alpha=\frac{e_n^3}{4\alpha^2}+O(e_n^4),
ou seja, existe constante C=1/(4\alpha^2)\neq0 tal que
e_{n+1}=C\,e_n^3+O(e_n^4).
Isso demonstra que a convergência é de ordem 3.

Resposta

O método converge para \sqrt{R} com ordem de convergência 3 (terceira ordem).

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