Mostre que o seguinte método tem convergência de terceira ordem para calcular
, para todo
:
Passo 1
O enunciado define a iteração
para aproximar
. Vamos mostrar que, definindo
e o erro
, a relação assintótica entre
e
é
com
, o que garante convergência de ordem 3.
Passo 2
Verificamos que
é ponto fixo da iteração. Substituindo
obtemos
Passo 3
Escrevemos
e expandimos numerador e denominador em série de potências de
. O numerador fica
e o denominador
Logo
Fatorando
e desenvolvendo em série até
, obtemos
Passo 4
Da expansão acima conclui-se que
ou seja, existe constante
tal que
Isso demonstra que a convergência é de ordem 3.
Resposta
O método converge para
com ordem de convergência 3 (terceira ordem).