Use que, para todo número real
, existe um número natural
tal que
, para mostrar que:
Dados quaisquer números reais
, com
, existe um número racional
, tal que
.
Dados quaisquer números reais
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Dados: dois números reais quaisquer
com . - Objetivo: mostrar que existe um número racional
tal que . - Fato que posso usar (a hipótese do enunciado): para todo número real
existe um número natural tal que . Vou usar esse fato (propriedade arquimediana) para construir explicitamente um racional entre e .
Passo 2
Primeiro passo construtivo: controlar o comprimento do intervalo
.
Como
, a diferença
é um número positivo. Vou escolher um natural
grande o bastante para que
seja menor que esse comprimento. Aplicando a hipótese com
(que é positivo), existe
tal que
Isto implica, isolando
,
Explicação didática: escolher
assim garante que “um passo” na escala
cabe estritamente dentro do intervalo
. Essa é a ideia-chave: dividimos a reta em pedaços de comprimento
suficientemente pequenos.
Passo 3
Lema auxiliar (existência de um inteiro adequado): para qualquer real
existe um inteiro
com
Prova do lema usando apenas o fato arquimediano (vou mostrar isso porque não vou assumir à toa a existência da função piso/parte inteira):
- Pelo fato arquimediano existe
com e também existe com (aplicando o fato a ). Então . - Considere o conjunto de inteiros
Esse conjunto é não vazio porque, por exemplo, o inteiro
pertence a
(pois
). Além disso todos os elementos de
são
, então
está contido num conjunto finito de inteiros
. Um subconjunto finito de
não vazio tem máximo; seja
o máximo de
.
- Pelo máximo
temos . Se tivéssemos então seria um elemento de maior que , contradizendo a maximalidade. Logo . - Assim encontramos
com , como queríamos.
Comentário amigável: esse lema é a versão elementar da existência da parte inteira (piso) de
; mostrei como construí-la sem assumir isso de antemão, usando apenas o fato arquimediano.
Passo 4
Aplicar o lema ao número
.
Usando o lema com
(que é real), existe um inteiro
tal que
Agora defino
Então
é um inteiro e satisfaz
Essa desigualdade é útil porque, ao dividir tudo por
, dá-nos um racional entre
e
.
Passo 5
Construção do racional e verificação das desigualdades.
Defino o candidato racional
onde
foi escolhido no Passo 2 e
é o inteiro do Passo 4 (ou seja,
).
Verifico agora que
:
- Primeiro, a desigualdade
(obtida em ) dividida por dá
ou seja
.
- Segundo, da desigualdade
(que segue de ) obtemos
Mas pelo passo 2 escolhemos
com
. Assim
Combinando as duas partes obtemos
, ou seja
.
Comentário didático: o ponto essencial foi garantir
para que o possível “excesso”
ao passar de
para
não ultrapasse
.
Passo 6
Conclusão e interpretação final.
Mostrei uma construção explícita: escolher
com
, tomar
inteiro tal que
(construído pelo lema), e definir
. Esse número
é racional (porque numerador e denominador são inteiros,
) e satisfaz
. Portanto entre quaisquer
há sempre um racional.
Mensagem motivadora rápida: praticamente dividimos o intervalo em pedaços pequenos
e colocamos um ponto da grade racional
dentro do intervalo — simples e elegante!