Use que, para todo número real \rho>0, existe um número natural n \in \mathbb{N} tal que n>\rho, para mostrar que:
Dados quaisquer números reais x, y \in \mathbb{R}, com x<y, existe um número racional r \in \mathbb{Q}, tal que x<r<y.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Dados: dois números reais quaisquer x,y\in\mathbb{R} com x<y.
  • Objetivo: mostrar que existe um número racional r\in\mathbb{Q} tal que x<r<y.
  • Fato que posso usar (a hipótese do enunciado): para todo número real \rho>0 existe um número natural n\in\mathbb{N} tal que n>\rho. Vou usar esse fato (propriedade arquimediana) para construir explicitamente um racional entre x e y.

Passo 2

Primeiro passo construtivo: controlar o comprimento do intervalo (x,y).
Como x<y, a diferença y-x é um número positivo. Vou escolher um natural n grande o bastante para que 1/n seja menor que esse comprimento. Aplicando a hipótese com \rho=\dfrac{1}{y-x} (que é positivo), existe n\in\mathbb{N} tal que
n>\frac{1}{y-x}.
Isto implica, isolando 1/n,
\frac{1}{n}<y-x.
Explicação didática: escolher n assim garante que “um passo” na escala 1/n cabe estritamente dentro do intervalo (x,y). Essa é a ideia-chave: dividimos a reta em pedaços de comprimento 1/n suficientemente pequenos.

Passo 3

Lema auxiliar (existência de um inteiro adequado): para qualquer real t existe um inteiro k com
k\le t<k+1.
Prova do lema usando apenas o fato arquimediano (vou mostrar isso porque não vou assumir à toa a existência da função piso/parte inteira):
  • Pelo fato arquimediano existe N\in\mathbb{N} com N>t e também existe M\in\mathbb{N} com M>-t (aplicando o fato a -t>0). Então -M<t<N.
  • Considere o conjunto de inteiros
S=\{m\in\mathbb{Z}\mid m\le t\}.
Esse conjunto é não vazio porque, por exemplo, o inteiro -M pertence a S (pois -M<t). Além disso todos os elementos de S são \le N, então S está contido num conjunto finito de inteiros \{-M,-M+1,\dots,N\}. Um subconjunto finito de \mathbb{Z} não vazio tem máximo; seja k o máximo de S.
  • Pelo máximo k temos k\le t. Se tivéssemos t\ge k+1 então k+1 seria um elemento de S maior que k, contradizendo a maximalidade. Logo t<k+1.
  • Assim encontramos k\in\mathbb{Z} com k\le t<k+1, como queríamos.
Comentário amigável: esse lema é a versão elementar da existência da parte inteira (piso) de t; mostrei como construí-la sem assumir isso de antemão, usando apenas o fato arquimediano.

Passo 4

Aplicar o lema ao número nx.
Usando o lema com t=nx (que é real), existe um inteiro q tal que
q\le nx<q+1.
Agora defino
m:=q+1.
Então m é um inteiro e satisfaz
m-1\le nx<m.
Essa desigualdade é útil porque, ao dividir tudo por n>0, dá-nos um racional entre x e y.

Passo 5

Construção do racional e verificação das desigualdades.
Defino o candidato racional
r:=\frac{m}{n},
onde n\in\mathbb{N} foi escolhido no Passo 2 e m\in\mathbb{Z} é o inteiro do Passo 4 (ou seja, m-1\le nx<m).
Verifico agora que x<r<y:
  • Primeiro, a desigualdade m>nx (obtida em m-1\le nx<m) dividida por n>0
\frac{m}{n}>x,
ou seja r>x.
  • Segundo, da desigualdade m\le nx+1 (que segue de m-1\le nx) obtemos
\frac{m}{n}\le x+\frac{1}{n}.
Mas pelo passo 2 escolhemos n com \dfrac{1}{n}<y-x. Assim
\frac{m}{n}\le x+\frac{1}{n}<x+(y-x)=y.
Combinando as duas partes obtemos x<\dfrac{m}{n}<y, ou seja x<r<y.
Comentário didático: o ponto essencial foi garantir 1/n<y-x para que o possível “excesso” 1/n ao passar de x para m/n não ultrapasse y.

Passo 6

Conclusão e interpretação final.
Mostrei uma construção explícita: escolher n\in\mathbb{N} com n>\dfrac{1}{y-x}, tomar m inteiro tal que m-1\le nx<m (construído pelo lema), e definir r=\dfrac{m}{n}. Esse número r é racional (porque numerador e denominador são inteiros, n\neq0) e satisfaz x<r<y. Portanto entre quaisquer x<y há sempre um racional.
Mensagem motivadora rápida: praticamente dividimos o intervalo em pedaços pequenos 1/n e colocamos um ponto da grade racional m/n dentro do intervalo — simples e elegante!

Resposta

r=\dfrac{m}{n}, onde n\in\mathbb{N} satisfaz n>\dfrac{1}{y-x} e m\in\mathbb{Z} satisfaz m-1\le nx<m.

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