Mostre o seguinte:
Seja A um conjunto não vazio com a seguinte propriedade: x in A Leftrightarrow-x in A. Então:
funções pares oplus funções ímpares =F(A, R) çõçõí

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial
F(A,R)
de todas as funções fcolon AtoR, onde A é simétrico (isto é, xin Aiff -xin A), se decompõe como soma direta dos subespaços
E = ,finF(A,R)mid f(-x)=f(x)
e
O=,finF(A,R)mid f(-x)=-f(x)
O conteúdo é decomposição em soma direta: precisamos mostrar que cada f se escreve de modo único como soma de uma função par e uma ímpar.

Passo 2

Dada finF(A,R), definimos
fe(x)=f(x)+f(-x)2, fo(x)=f(x)-f(-x)2
Então, para todo xin A,
fe(x)+fo(x) =f(x)+f(-x)2+f(x)-f(-x)2 =f(x),
logo
f=fe+fo

Passo 3

Verificamos que fe é par e fo é ímpar.
Para fe:
fe(-x) =f(-x)+f(--x)2 =f(-x)+f(x)2 =fe(x)
Para fo:
fo(-x) =f(-x)-f(--x)2 =f(-x)-f(x)2 =-f(x)-f(-x)2 =-fo(x)
Logo fein E e foin O, provando que E+O=F(A,R).

Passo 4

Para ver unicidade, suponha que
f = g + h
com gin E e hin O. Então
g(x)=g(x)+g(-x)2 e h(x)=h(x)-h(-x)2
Mas como g é par e h é ímpar, ao somar obtemos exatamente as fórmulas de fe e fo. Assim g=fe e h=fo, o que mostra que a decomposição é única e que Ecap O=0.

Resposta

funções paresoplusfunções ímpares =F(A,R) çõçõí

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