Mostre o seguinte:
Seja
um conjunto não vazio com a seguinte propriedade:
. Então:
Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial
de todas as funções , onde
é simétrico (isto é,
), se decompõe como soma direta dos subespaços
de todas as funções
e
O conteúdo é decomposição em soma direta: precisamos mostrar que cada
se escreve de modo único como soma de uma função par e uma ímpar.
Passo 2
Dada
, definimos
Então, para todo
,
logo
Passo 3
Verificamos que
é par e
é ímpar.
Para :
Para
Para
:
Logo
e
, provando que
.
Passo 4
Para ver unicidade, suponha que
com
e
. Então
Mas como
é par e
é ímpar, ao somar obtemos exatamente as fórmulas de
e
. Assim
e
, o que mostra que a decomposição é única e que
.