Mostre que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais sobre R.
F(R ; R):=f: R R mid f é uma função , com as operações usuais de funções.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que o conjunto F(R; R), que é formado por todas as funções que vão de R para R, é um espaço vetorial sobre os números reais R. Isso significa que, para ser um espaço vetorial, esse conjunto precisa satisfazer um conjunto de regras chamadas axiomas de espaço vetorial. Para resolver isso, vamos verificar cada um desses axiomas usando as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto onde você pode somar dois elementos e multiplicar elementos por números (chamados escalares), e essas operações seguem certas regras. No nosso caso, os elementos são funções, a soma é a soma de funções e a multiplicação por escalar é multiplicar a função por um número real.

Passo 3

Agora, vamos verificar o primeiro axioma: Fechamento sob a soma. Isso quer dizer que se você pegar duas funções quaisquer nesse conjunto e somá-las, o resultado também precisa estar no conjunto.
Seja f e g duas funções em F(R; R). A soma f + g é definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x) para todo x in R. Como f(x) e g(x) são reais, f(x) + g(x) também é real. Logo, f + g é uma função de R para R, estando assim dentro de F(R; R).

Passo 4

Próximo, o Fechamento sob a multiplicação por escalar. Isso significa que se você multiplicar uma função desse conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Seja f in F(R; R) e c in R. A multiplicação por escalar c cdot f é definida por (c cdot f)(x) = c cdot f(x) para todo x in R. Como f(x) é real e c é real, c cdot f(x) também é real. Portanto, c cdot f pertence a F(R; R).

Passo 5

Agora, vamos verificar os axiomas de associatividade da soma. Isso quer dizer que, para três funções quaisquer no conjunto, a ordem em que somamos não importa.
Sejam f, g, e h em F(R; R). Temos:
(f + g) + h = f + (g + h)
Isso é verdade porque, para cada x,
(f + g)(x) + h(x) = f(x) + g(x) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = f(x) + (g + h)(x)
Então, a associatividade é satisfeita.

Passo 6

Vamos ao axioma do elemento neutro da soma. Isso significa que existe uma função no conjunto que, quando somada a qualquer outra função, não a altera.
A função zero, definida por 0(x) = 0 para todo x in R, atua como elemento neutro. Para qualquer f in F(R; R),
f + 0 = f
Porque, para todo x,
(f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x)
Portanto, a função zero está no conjunto e funciona como elemento neutro.

Passo 7

Vamos verificar o axioma do elemento inverso da soma. Ou seja, para cada função no conjunto, existe outra função que, quando somadas, resultam na função zero.
Para qualquer f in F(R; R), a função -f definida por (-f)(x) = -f(x) para todo x satisfaz:
f + (-f) = 0
Porque,
(f + (-f))(x) = f(x) + (-f(x)) = 0
Então, cada função tem seu inverso aditivo no conjunto.

Passo 8

Agora, vamos ao axioma da comutatividade da soma. Isso quer dizer que a ordem das somas não altera o resultado.
Para quaisquer f, g in F(R; R),
f + g = g + f
Porque, para todo x,
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)
Assim, a comutatividade está satisfeita.

Passo 9

Vamos verificar os axiomas relacionados à multiplicação por escalar. Primeiro, o distributivo da multiplicação por escalares sobre a soma de vetores:
Para c in R e f, g in F(R; R),
c cdot (f + g) = c cdot f + c cdot g
Pois, para todo x,
(c cdot (f + g))(x) = c cdot (f + g)(x) = c cdot (f(x) + g(x)) = c cdot f(x) + c cdot g(x) = (c cdot f + c cdot g)(x)

Passo 10

Segundo, o distributivo da multiplicação por escalares sobre a soma de escalares:
Para c, d in R e f in F(R; R),
(c + d) cdot f = c cdot f + d cdot f
Porque, para todo x,
( (c + d) cdot f )(x) = (c + d) cdot f(x) = c cdot f(x) + d cdot f(x) = (c cdot f + d cdot f)(x)

Passo 11

Terceiro, o associatividade da multiplicação por escalares:
Para c, d in R e f in F(R; R),
c cdot (d cdot f) = (c cdot d) cdot f
Porque, para todo x,
(c cdot (d cdot f))(x) = c cdot (d cdot f(x)) = (c cdot d) cdot f(x) = ((c cdot d) cdot f)(x)

Passo 12

Por último, o elemento neutro da multiplicação por escalares:
Existe um número real 1 tal que para qualquer f in F(R; R),
1 cdot f = f
Porque, para todo x,
(1 cdot f)(x) = 1 cdot f(x) = f(x)
Isso confirma que a multiplicação por escalar com 1 não altera a função.

Resposta

Como todos os axiomas de espaço vetorial foram verificados e satisfeitos para o conjunto F(R; R) com as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar, concluímos que F(R; R) é, de fato, um espaço vetorial sobre R.

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