Verifique se os vetores u e v são ortogonais nos seguintes casos:
u=(a, 1,1+a^2)E e v=(a, 1+a^2, 1)E.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em R^3 dependentes do parâmetro a:
u = (a,1,1+a^2)E e v = (a,1+a^2,1)E
Para verificar ortogonalidade, vamos usar o conceito de produto escalar: dois vetores são ortogonais se, e somente se, seu produto escalar for zero.

Passo 2

Calculamos o produto escalar ucdotv somando os produtos das componentes correspondentes:
ucdotv = acdot a ;+; 1cdot(1+a^2);+;(1+a^2)cdot 1 = a^2 + (1+a^2) + (1+a^2)
Agrupando termos, obtemos
ucdotv = a^2 + 1 + a^2 + 1 + a^2 = 3a^2 + 2

Passo 3

Para ortogonalidade, impomos
ucdotv = 0 Longrightarrow 3a^2 + 2 = 0 Longrightarrow a^2 = -tfrac23
No conjunto dos números reais não existe a que satisfaça a^2<0.

Resposta

Os vetores u e v não são ortogonais para nenhum valor real de a.

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