Mostre que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais sobre
.
polinômios com coeficientes reais
, com as operações usuais de polinômios.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
, o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre
. Para isso, vamos verificar os axiomas de espaço vetorial: primeiro a estrutura de grupo abeliano em relação à soma e depois as propriedades de distribuição, compatibilidade e identidade da multiplicação por escalar.
Passo 2
Fechamento e grupo abeliano para a soma. Seja
com
. Então
é ainda um polinômio em
, provando o fechamento. A soma é comutativa e associativa pois cada coeficiente obedece
e
em
.
Passo 3
Neutro e inverso aditivo. O polinômio nulo
é um elemento de
e satisfaz
. Dado
definimos o inverso aditivo
de modo que
.
Passo 4
Fechamento e propriedades da multiplicação por escalar. Para
e
, definimos
Isso pertence a
, garantindo o fechamento. As propriedades seguem de:
Passo 5
Concluímos que todas as propriedades de espaço vetorial sobre
(fechamento, existência de neutro e inverso aditivo, comutatividade e associatividade da soma, além das leis de distribuição e compatibilidade da multiplicação por escalar) estão satisfeitas em
.