Mostre que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais sobre R.
P(R):= polinômios com coeficientes reais , com as operações usuais de polinômios.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que P(R), o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre R. Para isso, vamos verificar os axiomas de espaço vetorial: primeiro a estrutura de grupo abeliano em relação à soma e depois as propriedades de distribuição, compatibilidade e identidade da multiplicação por escalar.

Passo 2

Fechamento e grupo abeliano para a soma. Seja
f(x) = sumi=0^n ai x^i, g(x) = sumi=0^m bi x^i,
com ai,biinR. Então
(f+g)(x) = sumi=0^max(n,m) (ai + bi),x^i
é ainda um polinômio em P(R), provando o fechamento. A soma é comutativa e associativa pois cada coeficiente obedece ai + bi = bi + ai e (ai + bi) + ci = ai + (bi + ci) em R.

Passo 3

Neutro e inverso aditivo. O polinômio nulo
0(x) = 0
é um elemento de P(R) e satisfaz f+0 = f. Dado
f(x) = sumi=0^n ai x^i,
definimos o inverso aditivo
(-f)(x) = sumi=0^n (-ai),x^i,
de modo que f + (-f) = 0.

Passo 4

Fechamento e propriedades da multiplicação por escalar. Para lambda,muinR e f,gin P(R), definimos
(lambda f)(x) = sumi=0^n (lambda ai),x^i
Isso pertence a P(R), garantindo o fechamento. As propriedades seguem de:
lambda(f+g) = sumi lambda(ai + bi)x^i = sumi (lambda ai + lambda bi)x^i = lambda f + lambda g,
(lambda + mu)f = sumi (lambda + mu)ai x^i = sumi (lambda ai + mu ai)x^i = lambda f + mu f,
(lambdamu)f = sumi (lambdamu)ai x^i = lambda(mu f),
1cdot f = sumi (1cdot ai)x^i = f

Passo 5

Concluímos que todas as propriedades de espaço vetorial sobre R (fechamento, existência de neutro e inverso aditivo, comutatividade e associatividade da soma, além das leis de distribuição e compatibilidade da multiplicação por escalar) estão satisfeitas em P(R).

Resposta

P(R), com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre R.

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