Mostre que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais sobre
.
matrizes quadradas de ordem
com entradas reais
, com as operações usuais de matrizes.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
com a adição e a multiplicação escalar usuais é um espaço vetorial sobre
.
O que precisamos fazer é verificar as oito propriedades axiomáticas de espaço vetorial, usando apenas as propriedades das operações em .
O que precisamos fazer é verificar as oito propriedades axiomáticas de espaço vetorial, usando apenas as propriedades das operações em
Passo 2
Verificamos as propriedades relacionadas à adição em
:
-
(Fechamento) Se
e em , então também é uma matrizcom entradas em , logo . -
(Comutatividade) Como
em , temos -
(Associatividade) Em cada entrada vale
Passo 3
Agora a identidade aditiva e o inverso aditivo:
-
(Elemento neutro) A matriz
cujas entradas são todas zero satisfaz -
(Inverso aditivo) Para cada
, existe em e
Passo 4
Verificamos o fechamento sob multiplicação escalar: dado
e
, definimos
Como
, segue
.
Passo 5
Mostramos as propriedades que envolvem escalar e soma de vetores:
- (Distributividade interna)
- (Distributividade externa)
- (Compatibilidade escalar)
- (Elemento neutro escalar)
Passo 6
Como todas as propriedades de espaço vetorial foram verificadas, concluímos que
, com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar real, é de fato um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Portanto,
é um espaço vetorial sobre
.