Mostre que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais sobre R.
Mn(R):= matrizes quadradas de ordem n com entradas reais , com as operações usuais de matrizes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
Mn(R) = ,A = (aij) mid aijinR, i,j=1,dots,n
com a adição e a multiplicação escalar usuais é um espaço vetorial sobre R.
O que precisamos fazer é verificar as oito propriedades axiomáticas de espaço vetorial, usando apenas as propriedades das operações em R.

Passo 2

Verificamos as propriedades relacionadas à adição em Mn(R):
  1. (Fechamento) Se A=(aij) e B=(bij) em Mn(R), então
    A+B = (aij+bij)
    também é uma matriz ntimes n com entradas em R, logo A+Bin Mn(R).
  2. (Comutatividade) Como aij+bij=bij+aij em R, temos
    A+B = (aij+bij) = (bij+aij) = B+A
  3. (Associatividade) Em cada entrada vale
    (A+B)+C = l((aij+bij)+cijr) = l(aij+(bij+cij)r) = A+(B+C)

Passo 3

Agora a identidade aditiva e o inverso aditivo:
  1. (Elemento neutro) A matriz 0in Mn(R) cujas entradas são todas zero satisfaz
    A+0 = (aij+0) = (aij) = A
  2. (Inverso aditivo) Para cada A=(aij), existe -A = (-aij) em Mn(R) e
    A + (-A) = (aij+(-aij)) = (0) = 0

Passo 4

Verificamos o fechamento sob multiplicação escalar: dado lambdainR e A=(aij), definimos
lambda A = (lambda,aij)
Como lambda,aijinR, segue lambda Ain Mn(R).

Passo 5

Mostramos as propriedades que envolvem escalar e soma de vetores:
  1. (Distributividade interna) lambda (A+B) = l(lambda,(aij+bij)r) = l(lambda,aij + lambda,bijr) = lambda A + lambda B
  2. (Distributividade externa) (lambda + mu)A = l((lambda+mu),aijr) = l(lambda,aij + mu,aijr) = lambda A + mu A
  3. (Compatibilidade escalar) (lambda,mu)A = l((lambdamu),aijr) = lambda,(mu,aij) = lambda(mu A)
  4. (Elemento neutro escalar) 1cdot A = (1cdot aij) = (aij) = A

Passo 6

Como todas as propriedades de espaço vetorial foram verificadas, concluímos que Mn(R), com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar real, é de fato um espaço vetorial sobre R.

Resposta

Portanto, Mn(R) é um espaço vetorial sobre R.

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