Mostre que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais sobre
.
Seja
, com as operações usuais de polinômios.
Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre .
Para isso, vamos verificar os axiomas de espaço vetorial:
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre
Para isso, vamos verificar os axiomas de espaço vetorial:
- Fechamento em adição e multiplicação por escalar
- Existência do elemento neutro (vetor zero)
- Existência de inversos aditivos
- Propriedades algébricas herdadas de
: comutatividade, associatividade, elementos unidade, distributividade, etc.
Passo 2
Verificamos o fechamento:
– Se e
estão em
, então
– Se
onde
, logo
.
– Se e
, então
– Se
com
, logo
.
Passo 3
Mostramos o elemento neutro aditivo:
O polinômio zero
O polinômio zero
está em
e satisfaz
para todo
.
Passo 4
Existência de inversos aditivos:
Para , seu inverso é
Para
onde obviamente
, e
.
Passo 5
Propriedades algébricas restantes:
Como soma e multiplicação escalar em são feitas coeficiente a coeficiente em
, todas as propriedades seguintes seguem diretamente das de
:
Como soma e multiplicação escalar em
-
(comutatividade) -
(associatividade) -
e (compatibilidade e identidade escalar) -
e (distributividades).
Resposta
Portanto,
com as operações usuais é de fato um espaço vetorial sobre
.