Mostre que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais sobre R.
Seja n in N, Pn(R):=an x^n+an-1 x^n-1+cdots+a1 x+a0 mid an, an-1, ldots, a1, a0 in R, com as operações usuais de polinômios.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
Pn(R) = ,anx^n + an-1x^n-1 + cdots + a1x + a0 mid akinR
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre R.
Para isso, vamos verificar os axiomas de espaço vetorial:
  1. Fechamento em adição e multiplicação por escalar
  2. Existência do elemento neutro (vetor zero)
  3. Existência de inversos aditivos
  4. Propriedades algébricas herdadas de R: comutatividade, associatividade, elementos unidade, distributividade, etc.

Passo 2

Verificamos o fechamento:
– Se p(x)=sumk=0^nak x^k e q(x)=sumk=0^nbk x^k estão em Pn(R), então
p(x)+q(x)=sumk=0^n (ak+bk),x^k
onde ak+bkinR, logo p+qinPn(R).
– Se alphainR e p(x)=sumk=0^n ak x^k, então
alpha,p(x)=sumk=0^n (alpha,ak),x^k,
com alpha akinR, logo alpha pinPn(R).

Passo 3

Mostramos o elemento neutro aditivo:
O polinômio zero
0(x) = 0 + 0x + 0x^2 + cdots + 0x^n
está em Pn(R) e satisfaz p(x) + 0(x) = p(x) para todo p.

Passo 4

Existência de inversos aditivos:
Para p(x)=sumk=0^n ak x^k, seu inverso é
(-p)(x) = sumk=0^n (-ak),x^k,
onde obviamente -akinR, e p(x)+(-p)(x)=0(x).

Passo 5

Propriedades algébricas restantes:
Como soma e multiplicação escalar em Pn(R) são feitas coeficiente a coeficiente em R, todas as propriedades seguintes seguem diretamente das de R:
  1. p+q = q+p (comutatividade)
  2. (p+q)+r = p+(q+r) (associatividade)
  3. alpha(beta p) = (alphabeta)p e 1cdot p = p (compatibilidade e identidade escalar)
  4. (alpha+beta)p = alpha p + beta p e alpha(p+q) = alpha p + alpha q (distributividades).

Resposta

Portanto, Pn(R) com as operações usuais é de fato um espaço vetorial sobre R.

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