Mostre que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais sobre R.
R^n=(x1, ldots, xn) mid x1, ldots, xn in R, com a operações usuais de n-uplas ordenadas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que R^n, com as operações usuais de soma de n-uplas e multiplicação por escalar em R, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo R. Vamos usar que cada coordenada vive em R e herdar as propriedades de grupo abeliano da adição em R e as propriedades usuais da multiplicação por escalar em R.

Passo 2

Definimos as operações em R^n coordenada a coordenada:
– Para u=(x1,dots,xn) e v=(y1,dots,yn),
u+v = (,x1+y1,;x2+y2,;dots,;xn+yn,)
– Para ainR e u=(x1,dots,xn),
a,u = (,a,x1,;a,x2,;dots,;a,xn,)

Passo 3

Mostramos que (R^n,+) é um grupo abeliano:
  1. Fechamento: se xi,yiinR então xi+yiinR, logo u+vinR^n.
  2. Associatividade:
(u+v)+w =(,(xi+yi)+zi,) =(,xi+(yi+zi),) = u+(v+w)
  1. Elemento neutro: 0=(0,dots,0) satisfaz u+0=u.
  2. Inverso aditivo: para u=(xi), -u=(-xi) satisfaz u+(-u)=0.
  3. Comutatividade: u+v=(xi+yi)=(yi+xi)=v+u.

Passo 4

Verificamos as propriedades que envolvem a multiplicação por escalar:
  1. Fechamento: se xiinR e ainR então a,xiinR, logo a,uinR^n.
  2. Compatibilidade de escalares: para a,binR,
(ab),u = l((ab)xir) = al(b,xir) = a,(b,u)
  1. Elemento unidade do corpo:
1,u = (1cdot xi) = u
  1. Distributividade em relação à soma de vetores: para u,vinR^n,
a,(u+v) = l(a(xi+yi)r) = (a,xi + a,yi) = a,u + a,v
  1. Distributividade em relação à soma de escalares: para a,binR,
(a+b),u = l((a+b)xir) = (a,xi + b,xi) = a,u + b,u

Resposta

Portanto, todos os axiomas de espaço vetorial sobre R estão satisfeitos, e assim R^n é um espaço vetorial sobre R.

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