Mostre que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais sobre
.
, com a operações usuais de
-uplas ordenadas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
, com as operações usuais de soma de
-uplas e multiplicação por escalar em
, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo
. Vamos usar que cada coordenada vive em
e herdar as propriedades de grupo abeliano da adição em
e as propriedades usuais da multiplicação por escalar em
.
Passo 2
Definimos as operações em
coordenada a coordenada:
– Para e
,
– Para
– Para
e
,
Passo 3
Mostramos que
é um grupo abeliano:
- Fechamento: se
então , logo . - Associatividade:
- Elemento neutro:
satisfaz . - Inverso aditivo: para
, satisfaz . - Comutatividade:
.
Passo 4
Verificamos as propriedades que envolvem a multiplicação por escalar:
- Fechamento: se
e então , logo . - Compatibilidade de escalares: para
,
- Elemento unidade do corpo:
- Distributividade em relação à soma de vetores: para
,
- Distributividade em relação à soma de escalares: para
,
Resposta
Portanto, todos os axiomas de espaço vetorial sobre
estão satisfeitos, e assim
é um espaço vetorial sobre
.