Qual dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de M2 times 2(R)
W=(cca & b 0 & c) in M2 times 2(R): c=a+b;

Passo 1

O enunciado define o conjunto
W = a & b[6pt]0 & cin M2times2(R): c = a + b
Queremos verificar se W é subespaço vetorial de M2times2(R). Pelos critérios de subespaço, precisamos mostrar que:
1. o vetor zero de M2times2(R) está em W;
2. W é fechado sob adição;
3. W é fechado sob multiplicação por escalar.]

Passo 2

O vetor zero em M2times2(R) é
0 = 0 & 0[3pt]0 & 0
Tomando a=0 e b=0 obtemos c = a + b = 0, logo 0in W.]

Passo 3

Sejam
M1 = a1 & b1[3pt]0 & c1, M2 = a2 & b2[3pt]0 & c2
em W, com c1 = a1 + b1 e c2 = a2 + b2. Então
M1 + M2 = a1 + a2 & b1 + b2[3pt]0 & c1 + c2
Como
c1 + c2 = (a1 + b1) + (a2 + b2) = (a1 + a2) + (b1 + b2),
vemos que o último termo da soma satisfaz a condição c = a + b. Portanto M1 + M2in W.]

Passo 4

Seja lambdainR e
M = a & b[3pt]0 & cin W,
com c = a + b. Então
lambda M = lambda a & lambda b[3pt]0 & lambda c
Como
lambda c = lambda,(a + b) = (lambda a) + (lambda b),
a matriz lambda M também satisfaz a condição c = a + b. Logo lambda Min W.]

Resposta

W é subespaço vetorial de M2times2(R).

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