Qual dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de M2 times 2(R)
W=(cca & b 0 & c) in M2 times 2(R): c <= a+b;

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial M2times2(R) e o subconjunto
W = a & b0 & c:c <= a+b
Para que W seja subespaço vetorial, ele deve satisfazer três condições:
  1. 0in W.
  2. Fechamento por soma: se X,Yin W então X+Yin W.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: se Xin W e lambdainR, então lambda Xin W.

Passo 2

Verificamos se a matriz nula está em W. A matriz nula é
0&00&0,
e nela a=0, b=0, c=0. Como 0 <= 0+0 é verdade, a matriz nula pertence a W.

Passo 3

Verificamos fechamento por soma. Se
X=a1&b10&c1, Y=a2&b20&c2
são em W, então c1<= a1+b1 e c2<= a2+b2. A soma é
X+Y =a1+a2&b1+b20&c1+c2,
e como
c1+c2 <= (a1+b1)+(a2+b2) =(a1+a2)+(b1+b2),
vemos que X+Y também satisfaz a desigualdade e logo X+Yin W.

Passo 4

Verificamos fechamento por multiplicação escalar. Seja lambdainR e
X=a&b0&cin W,
ou seja, c<= a+b. Então
lambda X =lambda a&lambda b0&lambda c
deve satisfazer lambda c<= lambda a + lambda b.
  • Se lambda>0, multiplica-se a desigualdade por número positivo e ela se mantém.
  • Se lambda<0, ao multiplicar por lambda a desigualdade se inverte, e geralmente lambda c <= lambda(a+b) passa a ser lambda c >= lambda(a+b), falhando em W.
Por exemplo, tome
1&10&1in W pois 1<=1+1,
mas seu inverso aditivo
-1&-10&-1 não está em W porque -1not<= -1-1.
Logo W não é fechado sob multiplicação por escalares gerais.

Resposta

O conjunto W não é um subespaço vetorial de M2times2(R).

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