Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais do conjunto de polinômios de ordem até 2,(P2(R)):
W=a x^2+b x+c in P2(R) ; a+b=2 c;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que um certo conjunto W é um subespaço vetorial do conjunto dos polinômios de grau até 2, que a gente denota por P2(R) . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para verificar se um conjunto é realmente um subespaço. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é P2(R) . Esse conjunto inclui todos os polinômios com coeficientes reais e de grau no máximo 2. Ou seja, qualquer polinômio da forma a x^2 + b x + c , onde a , b e c são números reais, está em P2(R) .

Passo 3

Agora, vamos entender o que é um subespaço vetorial. Um subespaço é basicamente um “pequeno universo” dentro de um espaço maior que também é um espaço vetorial. Para que W seja um subespaço de P2(R) , ele precisa satisfazer três condições:
  1. Conter o vetor zero: Ou seja, o polinômio zero precisa estar em W .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois polinômios qualquer de W e somar, o resultado também precisa estar em W .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer polinômio de W por um número real, o resultado também precisa estar em W .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto W = a x^2 + b x + c in P2(R) ; a + b = 2 c .

Passo 4

1. Verificar se o vetor zero está em W :
O vetor zero no espaço dos polinômios é o polinômio 0 x^2 + 0 x + 0 , ou simplesmente 0 . Vamos ver se esse polinômio satisfaz a condição a + b = 2 c .
Aqui, a = 0 , b = 0 e c = 0 . Substituindo na condição:
0 + 0 = 2 times 0 implies 0 = 0
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em W .

Passo 5

2. Verificar se W é fechado sob adição:
Vamos considerar dois polinômios quaisquer em W :
P1(x) = a1 x^2 + b1 x + c1 com a1 + b1 = 2 c1
P2(x) = a2 x^2 + b2 x + c2 com a2 + b2 = 2 c2
Agora, vamos somar esses dois polinômios:
P1(x) + P2(x) = (a1 + a2) x^2 + (b1 + b2) x + (c1 + c2)
Para verificar se a soma está em W , precisamos checar se a condição (a1 + a2) + (b1 + b2) = 2 (c1 + c2) é verdadeira.
Vamos substituir as condições iniciais:
(a1 + b1) + (a2 + b2) = 2 c1 + 2 c2 implies (a1 + a2) + (b1 + b2) = 2 (c1 + c2)
Então, a soma dos dois polinômios também satisfaz a condição de W , ou seja, está fechado sob adição.

Passo 6

3. Verificar se W é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio qualquer em W :
P(x) = a x^2 + b x + c com a + b = 2 c
Agora, vamos multiplicar esse polinômio por um escalar k (um número real qualquer):
k P(x) = k a x^2 + k b x + k c
Precisamos verificar se esse polinômio k P(x) também está em W . Ou seja, se (k a) + (k b) = 2 (k c) .
Fazendo a conta:
k a + k b = k (a + b) = k (2 c) = 2 (k c)
Então, a igualdade k a + k b = 2 k c é verdadeira, o que mostra que W está fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como W contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é, de fato, um subespaço vetorial de P2(R) .

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