Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais do conjunto de polinômios de ordem até
:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que um certo conjunto
é um subespaço vetorial do conjunto dos polinômios de grau até 2, que a gente denota por
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para verificar se um conjunto é realmente um subespaço. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é
. Esse conjunto inclui todos os polinômios com coeficientes reais e de grau no máximo 2. Ou seja, qualquer polinômio da forma
, onde
,
e
são números reais, está em
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é um subespaço vetorial. Um subespaço é basicamente um “pequeno universo” dentro de um espaço maior que também é um espaço vetorial. Para que
seja um subespaço de
, ele precisa satisfazer três condições:
- Conter o vetor zero: Ou seja, o polinômio zero precisa estar em
. - Fechado sob adição: Se você pegar dois polinômios qualquer de
e somar, o resultado também precisa estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer polinômio de
por um número real, o resultado também precisa estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 4
1. Verificar se o vetor zero está em
:
O vetor zero no espaço dos polinômios é o polinômio
, ou simplesmente
. Vamos ver se esse polinômio satisfaz a condição
.
Aqui,
,
e
. Substituindo na condição:
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em
.
Passo 5
2. Verificar se
é fechado sob adição:
Vamos considerar dois polinômios quaisquer em
:
Agora, vamos somar esses dois polinômios:
Para verificar se a soma está em
, precisamos checar se a condição
é verdadeira.
Vamos substituir as condições iniciais:
Então, a soma dos dois polinômios também satisfaz a condição de
, ou seja, está fechado sob adição.
Passo 6
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio qualquer em
:
Agora, vamos multiplicar esse polinômio por um escalar
(um número real qualquer):
Precisamos verificar se esse polinômio
também está em
. Ou seja, se
.
Fazendo a conta:
Então, a igualdade
é verdadeira, o que mostra que
está fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é, de fato, um subespaço vetorial de
.