Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais do conjunto de polinômios de ordem até 2,(P2(R)):
W=a x^2+b x+c in P2(R) ; b=c=0 ;

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
W = ,a x^2 + b x + c in P2(R) mid b = 0,;c = 0
é um subespaço vetorial de P2(R).
Conteúdo: critério de subespaço – verificar que Wneqvarnothing, e que W é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que W não é vazio. O polinômio zero em P2(R) é
0(x)=0cdot x^2+0cdot x+0,
e nele b=0 e c=0, logo 0(x)in W.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob soma. Tomemos
;p1(x)=a1x^2in W e ;p2(x)=a2x^2in W.
Então
p1(x)+p2(x) =(a1x^2)+(a2x^2) =(a1+a2)x^2,
que novamente tem termo em x e termo constante nulos, isto é, pertence a W.

Passo 4

Mostramos que W é fechado sob multiplicação por escalar. Seja lambdainR e
;p(x)=a x^2in W. Então
lambda,p(x) =lambda,(a x^2) =(lambda a),x^2,
que também tem coeficiente de x e termo constante iguais a zero, logo lambda p(x)in W.

Resposta

Portanto, W satisfaz os três critérios de subespaço vetorial e é de fato um subespaço de P2(R).

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