Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais do conjunto de polinômios de ordem até
:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
é um subespaço vetorial de
.
Conteúdo: critério de subespaço – verificar que , e que
é fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Conteúdo: critério de subespaço – verificar que
Passo 2
Verificamos que
não é vazio. O polinômio zero em
é
e nele
e
, logo
.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob soma. Tomemos
e
.
Então
Então
que novamente tem termo em
e termo constante nulos, isto é, pertence a
.
Passo 4
Mostramos que
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
que também tem coeficiente de
e termo constante iguais a zero, logo
.
Resposta
Portanto,
satisfaz os três critérios de subespaço vetorial e é de fato um subespaço de
.