Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais do conjunto de polinômios de ordem até 2,(P2(R)):
W=a x^2+b x+c in P2(R) ; 3 a+b-2 c=0 ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que o conjunto W = a x^2 + b x + c in P2(R) ; 3a + b - 2c = 0 é um subespaço vetorial do conjunto de polinômios de grau até 2, P2(R) . Para isso, precisamos lembrar e aplicar alguns conceitos básicos de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto W de um espaço vetorial V é um subespaço se:
  1. O vetor zero de V está em W .
  2. Se u e v são vetores em W , então u + v também está em W (fechado para adição).
  3. Se u é um vetor em W e k é um escalar, então k cdot u também está em W (fechado para multiplicação por escalar).
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto W .

Passo 3

1. O vetor zero está em W :
O vetor zero em P2(R) é o polinômio 0x^2 + 0x + 0 . Vamos verificar se ele satisfaz a condição 3a + b - 2c = 0 :
3(0) + 0 - 2(0) = 0 + 0 - 0 = 0
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em W .

Passo 4

2. Fechado para adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em W :
P1 = a1 x^2 + b1 x + c1 e P2 = a2 x^2 + b2 x + c2
Sabemos que:
3a1 + b1 - 2c1 = 0 e 3a2 + b2 - 2c2 = 0
Agora, somamos P1 e P2 :
P1 + P2 = (a1 + a2)x^2 + (b1 + b2)x + (c1 + c2)
Precisamos verificar se P1 + P2 também satisfaz a condição:
3(a1 + a2) + (b1 + b2) - 2(c1 + c2) = (3a1 + b1 - 2c1) + (3a2 + b2 - 2c2) = 0 + 0 = 0
Portanto, P1 + P2 está em W .

Passo 5

3. Fechado para multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio P = a x^2 + b x + c em W e um escalar k . Sabemos que:
3a + b - 2c = 0
Multiplicamos P por k :
k cdot P = (k a) x^2 + (k b) x + (k c)
Agora, verificamos a condição:
3(k a) + (k b) - 2(k c) = k(3a + b - 2c) = k cdot 0 = 0
Assim, k cdot P também está em W .

Resposta

Concluímos que W satisfaz todas as condições necessárias e, portanto, é um subespaço vetorial de P2(R) .

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