Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais do conjunto de polinômios de ordem até
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial do conjunto de polinômios de grau até 2,
. Para isso, precisamos lembrar e aplicar alguns conceitos básicos de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se:
- O vetor zero de
está em . - Se
e são vetores em , então também está em (fechado para adição). - Se
é um vetor em e é um escalar, então também está em (fechado para multiplicação por escalar).
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto
.
Passo 3
1. O vetor zero está em
:
O vetor zero em
é o polinômio
. Vamos verificar se ele satisfaz a condição
:
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Fechado para adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em
:
Sabemos que:
Agora, somamos
e
:
Precisamos verificar se
também satisfaz a condição:
Portanto,
está em
.
Passo 5
3. Fechado para multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio
em
e um escalar
. Sabemos que:
Multiplicamos
por
:
Agora, verificamos a condição:
Assim,
também está em
.
Resposta
Concluímos que
satisfaz todas as condições necessárias e, portanto, é um subespaço vetorial de
.