Sejam
subespaços vetoriais de
. Determine
. A soma é direta?
.
Passo 1
O enunciado pede para achar a interseção e a soma de dois subespaços de
, e verificar se a soma é direta. O conteúdo aqui é álgebra linear básica: descrição paramétrica de subespaços, solução de sistemas lineares para a interseção e uso da fórmula de dimensão para a soma.
Passo 2
Vamos descrever
e
em forma paramétrica.
é dado por
, logo
Portanto
e uma base de
é
.
Passo 3
O subespaço
é definido por
, isto é
. Podemos escrever
Logo
e uma base de
é
.
Passo 4
Para achar
precisamos de
que satisfaça simultaneamente
e
. Substituindo
na equação de
obtemos
Portanto
e uma base é
.
Passo 5
Agora a soma
é o subespaço gerado por todas as combinações lineares dos vetores de
e de
. Pelo teorema da dimensão de soma de subespaços vale
Como
tem dimensão 3, concluímos que
Passo 6
A soma é direta se, e somente se,
. Aqui vimos que
tem dimensão 1 (ou seja, não é apenas o vetor zero). Logo a soma não é direta.
Resposta
a soma não é direta.