Sejam U, W subespaços vetoriais de R^3. Determine U cap W, U+W. A soma é direta?
U=(x, y, z) in R^3 ; x=0, W=(x, y, z) in R^3 ; y-2 z=0.

Passo 1

O enunciado pede para achar a interseção e a soma de dois subespaços de R^3, e verificar se a soma é direta. O conteúdo aqui é álgebra linear básica: descrição paramétrica de subespaços, solução de sistemas lineares para a interseção e uso da fórmula de dimensão para a soma.

Passo 2

Vamos descrever U e W em forma paramétrica.
U é dado por x=0, logo
U=(0,y,z)mid y,zinR =y(0,1,0)+z(0,0,1)
Portanto dim(U)=2 e uma base de U é (0,1,0),(0,0,1).

Passo 3

O subespaço W é definido por y-2z=0, isto é y=2z. Podemos escrever
W=(x,2z,z)mid x,zinR =x(1,0,0)+z(0,2,1)
Logo dim(W)=2 e uma base de W é (1,0,0),(0,2,1).

Passo 4

Para achar Ucap W precisamos de (x,y,z) que satisfaça simultaneamente x=0 e y=2z. Substituindo x=0 na equação de W obtemos
Ucap W=(0,y,z)mid y=2z =(0,2z,z)mid zinR =z(0,2,1)
Portanto dim(Ucap W)=1 e uma base é (0,2,1).

Passo 5

Agora a soma U+W é o subespaço gerado por todas as combinações lineares dos vetores de U e de W. Pelo teorema da dimensão de soma de subespaços vale
dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(Ucap W) =2+2-1=3
Como R^3 tem dimensão 3, concluímos que
U+W=R^3

Passo 6

A soma é direta se, e somente se, Ucap W=0. Aqui vimos que Ucap W tem dimensão 1 (ou seja, não é apenas o vetor zero). Logo a soma não é direta.

Resposta

Ucap W=span(0,2,1),
U+W=R^3,
a soma não é direta.

Exercícios relacionados