Sejam subespaços vetoriais de . Determine . A soma é direta? .
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de : definido pelas equações
e gerado pelos vetores e .
Queremos achar a interseção e a soma , e decidir se a soma é direta.
Passo 2
Parametrizamos resolvendo as igualdades em função de um parâmetro . Da primeira equação vem . Da segunda vem . Logo todo vetor em é
Portanto
um subespaço de dimensão 1.
Passo 3
Pelo enunciado
Como e não são múltiplos um do outro, .
Passo 4
Para achar
Isso dá o sistema
Das duas primeiras equações igualamos as expressões para , o que força . Então . Substituindo na terceira, leva a . Logo só a solução trivial existe, e
Passo 5
Usamos a fórmula da dimensão da soma:
dim(U+W) = dim U + dim W - dim(Ucap W) = 1 + 2 - 0 = 3
Em R^3, qualquer subespaço de dimensão 3 é o próprio R^3. Assim
U+W = R^3
Passo 6
Como Ucap W=0, segue que a soma é direta:
Uoplus W = U+W
Resposta
Ucap W = (0,0,0). U+W = R^3.
Sim, a soma é direta.