Sejam U, W subespaços vetoriais de R^3. Determine U cap W, U+W. A soma é direta?
U=(x, y, z) in R^3 ; x+y=0 e 4 x-z=0, W=[(1,-1,2),(2,1,1)].

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de R^3:
U definido pelas equações
x+y=0, 4x-z=0,
e
W gerado pelos vetores (1,-1,2) e (2,1,1).
Queremos achar a interseção Ucap W e a soma U+W, e decidir se a soma é direta.

Passo 2

Parametrizamos resolvendo as igualdades em função de um parâmetro . Da primeira equação vem . Da segunda vem . Logo todo vetor em é
Portanto
um subespaço de dimensão 1.

Passo 3

Pelo enunciado
Como e não são múltiplos um do outro, .

Passo 4

Para achar
Isso dá o sistema
Das duas primeiras equações igualamos as expressões para , o que força . Então . Substituindo na terceira, leva a . Logo só a solução trivial existe, e

Passo 5

Usamos a fórmula da dimensão da soma:
dim(U+W) = dim U + dim W - dim(Ucap W) = 1 + 2 - 0 = 3
Em R^3, qualquer subespaço de dimensão 3 é o próprio R^3. Assim
U+W = R^3

Passo 6

Como Ucap W=0, segue que a soma é direta:
Uoplus W = U+W

Resposta

Ucap W = (0,0,0).
U+W = R^3.
Sim, a soma é direta.

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