Mostre que as seguintes coordenadas são coordenadas curvilíneas, encontre os fatores de escala h1, h2, h3, o gradiente, o divergente, o rotacional e o Laplaciano:
x=u v cos phi, y=u v sin phi, z=12(u^2-v^2).

Passo 1

O enunciado define as coordenadas curvilíneas em 3D por as transformações x=uv cosϕ, y=uv sinϕ, z=½(u²−v²). O conteúdo é sistema curvilíneo ortogonal. Precisamos mostrar que as direções são ortogonais, achar os fatores de escala h_u,h_v,h_ϕ e obter as fórmulas de gradiente, divergente, rotacional e Laplaciano nesse sistema.

Passo 2

Primeiro escrevemos o vetor posição em função de (u,v,ϕ):
r(u,v,phi)=u vcosphi, ex+u vsinphi, ey+tfrac12(u^2-v^2), ez
Calculamos as derivadas parciais:
partial rpartial u=vcosphi, ex+vsinphi, ey+u, ez,
partial rpartial v=ucosphi, ex+usinphi, ey-v, ez,
partial rpartial phi=-u vsinphi, ex+u vcosphi, ey
As normas são
hu=|partialu r|=raizu^2+v^2, hv=raizu^2+v^2, hphi=u v
Verifica-se que os produtos internos partialu rcdotpartialv r=0 (e os demais similares), confirmando que o sistema é ortogonal e definindo os fatores de escala.

Passo 3

Em sistema ortogonal o gradiente de um escalar f é dado por
nabla f= euhupartial fpartial u+ evhvpartial fpartial v+ ephihphipartial fpartial phi
Substituindo hu=hv=raizu^2+v^2 e hphi=u v obtemos
nabla f= euraizu^2+v^2partial fpartial u+ evraizu^2+v^2partial fpartial v+ ephiu vpartial fpartial phi

Passo 4

Em sistema ortogonal o divergente de A=Au eu+Av ev+Aphi ephi é
nablacdot A=1hu hv hphil[partialpartial u(hv hphi Au)+partialpartial v(hu hphi Av)+partialpartial phi(hu hv Aphi)r]
Com hu=hv=raizu^2+v^2 e hphi=uv isso vira
nablacdot A=1uv(u^2+v^2)l[partialpartial u(uvraizu^2+v^2,Au)+partialpartial v(uvraizu^2+v^2,Av)+partialpartial phi((u^2+v^2),Aphi)r]

Passo 5

Em sistema ortogonal os componentes do rotacional são
(nablatimes A)u=1hv hphil[partialpartial v(hphi Aphi)-partialpartial phi(hv Av)r],
(nablatimes A)v=1hphi hul[partialpartial phi(hu Au)-partialpartial u(hphi Aphi)r],
(nablatimes A)phi=1hu hvl[partialpartial u(hv Av)-partialpartial v(hu Au)r]
Substituindo nossos fatores de escala resulta em
(nablatimes A)u=1uvraizu^2+v^2l[partialpartial v(uv Aphi)-partialpartial phi(raizu^2+v^2,Av)r],
(nablatimes A)v=1uvraizu^2+v^2l[partialpartial phi(raizu^2+v^2,Au)-partialpartial u(uv Aphi)r],
(nablatimes A)phi=1u^2+v^2l[partialpartial u(raizu^2+v^2,Av)-partialpartial v(raizu^2+v^2,Au)r]

Passo 6

Para o Laplaciano escalar em sistema ortogonal usamos
nabla^2 f=1hu hv hphil[partialpartial ul(hv hphihupartial fpartial ur)+partialpartial vl(hu hphihvpartial fpartial vr)+partialpartial phil(hu hvhphipartial fpartial phir)r]
Substituindo e simplificando obtemos
nabla^2 f=1uv(u^2+v^2)l[partialpartial u(uv,partialu f)+partialpartial v(uv,partialv f)+partialpartial phil(u^2+v^2uvpartialphi fr)r]

Resposta

hu=raizu^2+v^2,;hv=raizu^2+v^2,;hphi=uv Gradient: nabla f= euraizu^2+v^2partialu f+ evraizu^2+v^2partialv f+ ephiuvpartialphi f Divergente: nablacdot A=1uv(u^2+v^2)[partialu(uvraizu^2+v^2Au)+partialv(uvraizu^2+v^2Av)+partialphi((u^2+v^2)Aphi)] Rotacional: (nablatimes A)u=1uvraizu^2+v^2[partialv(uvAphi)-partialphi(raizu^2+v^2Av)],;(nablatimes A)v=1uvraizu^2+v^2[partialphi(raizu^2+v^2Au)-partialu(uvAphi)],;(nablatimes A)phi=1u^2+v^2[partialu(raizu^2+v^2Av)-partialv(raizu^2+v^2Au)] Laplaciano: nabla^2 f=1uv(u^2+v^2)[partialu(uvpartialu f)+partialv(uvpartialv f)+partialphi(tfracu^2+v^2uvpartialphi f)]

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