Mostre que as seguintes coordenadas são coordenadas curvilíneas, encontre os fatores de escala
, o gradiente, o divergente, o rotacional e o Laplaciano:
.
Passo 1
O enunciado define as coordenadas curvilíneas em 3D por as transformações x=uv cosϕ, y=uv sinϕ, z=½(u²−v²). O conteúdo é sistema curvilíneo ortogonal. Precisamos mostrar que as direções são ortogonais, achar os fatores de escala h_u,h_v,h_ϕ e obter as fórmulas de gradiente, divergente, rotacional e Laplaciano nesse sistema.
Passo 2
Primeiro escrevemos o vetor posição em função de (u,v,ϕ):
Calculamos as derivadas parciais:
As normas são
Verifica-se que os produtos internos
(e os demais similares), confirmando que o sistema é ortogonal e definindo os fatores de escala.
Passo 3
Em sistema ortogonal o gradiente de um escalar f é dado por
Substituindo
e
obtemos
Passo 4
Em sistema ortogonal o divergente de
é
Com
e
isso vira
Passo 5
Em sistema ortogonal os componentes do rotacional são
Substituindo nossos fatores de escala resulta em
Passo 6
Para o Laplaciano escalar em sistema ortogonal usamos
Substituindo e simplificando obtemos