Mostre que as seguintes equações são Exatas e encontre a solução geral.
y^2+cos x+(2 x y+e^y) d yd x=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
y^2 + cos x + l(2xy + e^yr),dydx = 0
é exata e, em seguida, encontrar sua solução geral. Vamos usar o conceito de equação diferencial exata: identificar funções M(x,y) e N(x,y), verificar
partial M/partial y = partial N/partial x e, por fim, construir uma função potencial Phi(x,y).

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = y^2 + cos x, N(x,y) = 2xy + e^y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2y, partial Npartial x = 2y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = M(x,y) = y^2 + cos x
Integrando em relação a x:
Phi(x,y) = integral (y^2 + cos x),dx = x,y^2 + sin x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Agora impomos
partial Phipartial y = 2xy + h'(y) stackrel!= N(x,y) = 2xy + e^y,
logo h'(y)=e^y e
h(y)=e^y
Portanto
Phi(x,y) = x,y^2 + sin x + e^y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
x,y^2 + sin x + e^y = C,
em que C é constante de integração.

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