Mostre que as seguintes equações são Exatas e encontre a solução geral.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
é exata e, em seguida, encontrar sua solução geral. Vamos usar o conceito de equação diferencial exata: identificar funções
e
, verificar
e, por fim, construir uma função potencial
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
Integrando em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Agora impomos
logo
e
Portanto
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
em que
é constante de integração.