Mostre que as seguintes equações diferenciais ordinárias não são exatas. A seguir determine fatores integrantes µ(x, y)µ, e resolva-as.
2 sen y^2+(x y cos y^2) y^prime=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
2senl(y^2r) + l(x,ycosl(y^2r)r),y' = 0
que podemos ver como uma forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y) = 2senl(y^2r), N(x,y) = x,ycosl(y^2r)
O conteúdo aqui é testar exatidão, mostrar que não é exata, depois encontrar um fator integrante e por fim resolver a equação exata resultante.

Passo 2

Teste de exatidão: calcule
partial Mpartial y e partial Npartial x
Temos
partial Mpartial y = 2cdotddyl[sen(y^2)r] = 2cdotcos(y^2)cdot 2y = 4ycos(y^2),
partial Npartial x = ddxl[x,ycos(y^2)r] = ycos(y^2)
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Para achar um fator integrante mu(x,y) tentamos a dependência apenas em x. Usamos o critério
partial Mpartial y-partial Npartial xN deve depender só de x ó
Logo
4ycos(y^2) - ycos(y^2)x,ycos(y^2) = 3ycos(y^2)x,ycos(y^2) = 3x,
que é função só de x. Portanto existe mu=mu(x).

Passo 4

O fator integrante mu(x) satisfaz
mu'(x)mu(x) = 3x,
então
mu(x) = exp!l(integral 3x,dxr) = expl(3ln|x|r) = |x|^3
Para simplificar, consideramos x>0 e tomamos mu(x)=x^3.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por x^3, obtendo
2x^3sen(y^2),dx + x^3l(x,ycos(y^2)r),dy = 0
ou seja
M1(x,y),dx + N1(x,y),dy = 0
com
M1(x,y)=2x^3sen(y^2), N1(x,y)=x^4ycos(y^2)

Passo 6

Verificamos exatidão agora:
partial M1partial y = 2x^3cdot2ycos(y^2) =4x^3ycos(y^2),
partial N1partial x = ddxl[x^4ycos(y^2)r] =4x^3ycos(y^2),
logo a equação é exata.

Passo 7

Buscamos uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = M1(x,y)
Integrando em x:
Phi(x,y) = integral 2x^3sen(y^2),dx = 2sen(y^2)cdotx^44 = x^42,sen(y^2) + h(y)

Passo 8

Agora impomos
partial Phipartial y = N1(x,y)
Calculando
partialpartial yl[x^42sen(y^2) + h(y)r] = x^42cdot2ycos(y^2) + h'(y) = x^4ycos(y^2) + h'(y)
Como isso deve ser igual a N1(x,y)=x^4ycos(y^2), concluímos h'(y)=0 e portanto h(y) é constante.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
x^42,senl(y^2r) = C
ou equivalentemente
x^4senl(y^2r) = C', C' constante

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