Mostre que as seguintes equações diferenciais ordinárias não são exatas. A seguir determine fatores integrantes
, e resolva-as.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
que podemos ver como uma forma diferencial
com
O conteúdo aqui é testar exatidão, mostrar que não é exata, depois encontrar um fator integrante e por fim resolver a equação exata resultante.
Passo 2
Teste de exatidão: calcule
Temos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Para achar um fator integrante
tentamos a dependência apenas em
. Usamos o critério
Logo
que é função só de
. Portanto existe
.
Passo 4
O fator integrante
satisfaz
então
Para simplificar, consideramos
e tomamos
.
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
ou seja
com
Passo 6
Verificamos exatidão agora:
logo a equação é exata.
Passo 7
Buscamos uma função potencial
tal que
Integrando em
:
Passo 8
Agora impomos
Calculando
Como isso deve ser igual a
, concluímos
e portanto
é constante.
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
ou equivalentemente