Mostre que as seguintes equações diferenciais ordinárias não são exatas. A seguir determine fatores integrantes µ(x, y)µ, e resolva-as.
2 x y d x+(4 y+3 x^2) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2xy,dx + l(4y + 3x^2r),dy = 0
e pede para mostrar que ela não é exata, encontrar um fator integrante mu(x,y) e, por fim, resolver a EDO. Vamos usar o teste de exatidão, procurar um mu que torne a equação exata e então encontrar a função potencial cujas curvas de nível são as soluções.

Passo 2

Chamando
M(x,y)=2xy, N(x,y)=4y+3x^2,
verificamos
partial Mpartial y=2x, partial Npartial x=6x
Como 2xneq6x em geral, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante que dependa só de y. Para isso calculamos
partial N/partial x - partial M/partial yM =6x-2x2xy =4x2xy =2y,
que depende só de y. Logo um fator integrante é
mu(y)=exp!l(integral2y,dyr) =expl(2ln|y|r) =y^2

Passo 4

Multiplicando a EDO original por y^2 obtemos
2x y^3,dx + l(4y^3 + 3x^2y^2r),dy = 0
Agora
tilde M(x,y)=2x y^3, tilde N(x,y)=4y^3+3x^2y^2
e
partial tilde Mpartial y=6x y^2, partial tilde Npartial x=6x y^2,
portanto a equação é exata.

Passo 5

Procuramos F(x,y) tal que
partial Fpartial x=tilde M=2x y^3
Integrando em x,
F(x,y)=integral 2x y^3,dx = x^2y^3 + g(y)
Para determinar g(y) usamos
partial Fpartial y =3x^2y^2 + g'(y) stackrel!=tilde N=4y^3+3x^2y^2,
logo g'(y)=4y^3 e
g(y)=integral4y^3,dy = y^4
Assim
F(x,y)=x^2y^3 + y^4

Passo 6

A solução geral implícita vem de
F(x,y)=C,
ou seja
x^2y^3 + y^4 = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^2y^3 + y^4 = C

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