Mostre que as seguintes equações diferenciais ordinárias não são exatas. A seguir determine fatores integrantes
, e resolva-as.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para mostrar que ela não é exata, encontrar um fator integrante
e, por fim, resolver a EDO. Vamos usar o teste de exatidão, procurar um
que torne a equação exata e então encontrar a função potencial cujas curvas de nível são as soluções.
Passo 2
Chamando
verificamos
Como
em geral, a equação não é exata.
Passo 3
Buscamos um fator integrante que dependa só de
. Para isso calculamos
que depende só de
. Logo um fator integrante é
Passo 4
Multiplicando a EDO original por
obtemos
Agora
e
portanto a equação é exata.
Passo 5
Procuramos
tal que
Integrando em
,
Para determinar
usamos
logo
e
Assim
Passo 6
A solução geral implícita vem de
ou seja
com
constante arbitrária.