Mostre que as seguintes equações diferenciais ordinárias não são exatas. A seguir determine fatores integrantes µ(x, y)µ, e resolva-as.
(1+2 x^2+4 x y) d x+2 d y=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
l(1 + 2x^2 + 4xyr),dx + 2,dy = 0
não é exata, e em seguida encontrar um fator integrante mu(x,y) que torne a equação exata. Para isso vamos identificar
M(x,y) = 1 + 2x^2 + 4xy, N(x,y) = 2
e lembrar que uma EDO M,dx + N,dy=0 é exata se e somente se partial M/partial y = partial N/partial x.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 4x, partial Npartial x = 0,
logo partial M/partial y neq partial N/partial x e a equação não é exata. Para achar um fator integrante dependente só de x ou só de y, testamos
partial M/partial y - partial N/partial xN = 4x - 02 = 2x,
que depende apenas de x. Isso indica que existe mu(x) tal que
mu(x) = exp!gl(integral 2x,dxgr) = e^x^2

Passo 3

Multiplicamos a EDO original pelo fator integrante mu(x)=e^x^2, obtendo
l(1 + 2x^2 + 4xyr)e^x^2,dx + 2e^x^2,dy = 0
Definindo
M^*(x,y) = l(1 + 2x^2 + 4xyr)e^x^2, N^*(x,y) = 2e^x^2,
verificamos
partial M^*partial y = 4x,e^x^2, partial N^*partial x = 2cdot 2x,e^x^2 =4x,e^x^2,
logo a nova equação é exata.

Passo 4

Como a EDO é exata, existe uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M^*(x,y), partial psipartial y = N^*(x,y)
Integramos partial psi/partial x=M^* em relação a x:
psi(x,y) = integral l(1 + 2x^2 + 4xyr)e^x^2,dx = underbraceintegral (1+2x^2)e^x^2dxx e^x^2 + underbraceintegral 4x y,e^x^2dx2y,e^x^2 + g(y),
onde usamos que
ddxl(x e^x^2r) = (1+2x^2)e^x^2, ddxl(2y,e^x^2r) = 4x y,e^x^2
Assim
psi(x,y) = x,e^x^2 + 2y,e^x^2 + g(y)
Agora impomos partial psi/partial y = N^*(x,y):
partial psipartial y = 2e^x^2 + g'(y) stackrel!= 2e^x^2,
logo g'(y)=0 e g é constante.

Resposta

A solução geral da EDO é dada por
psi(x,y) = x,e^x^2 + 2y,e^x^2 = C,
ou seja
e^x^2,(x + 2y) = C

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