Mostre que as seguintes equações diferenciais ordinárias não são exatas. A seguir determine fatores integrantes
, e resolva-as.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
não é exata, e em seguida encontrar um fator integrante
que torne a equação exata. Para isso vamos identificar
e lembrar que uma EDO
é exata se e somente se
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais
logo
e a equação não é exata. Para achar um fator integrante dependente só de
ou só de
, testamos
que depende apenas de
. Isso indica que existe
tal que
Passo 3
Multiplicamos a EDO original pelo fator integrante
, obtendo
Definindo
verificamos
logo a nova equação é exata.
Passo 4
Como a EDO é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde usamos que
Assim
Agora impomos
partial psi/partial y = N^*(x,y) :
logo
g'(y)=0 e
g é constante.
Resposta
A solução geral da EDO é dada por
ou seja