Mostre que as seguintes equações diferenciais ordinárias não são exatas. A seguir determine fatores integrantes
, e resolva-as.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
Queremos mostrar que ela não é exata, encontrar um fator integrante
que a torne exata e, finalmente, resolver a equação resultante. Para isso, vamos usar o teste de exatidão e a técnica de fatores integrantes dependentes só de
ou só de
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa apenas de
. Sabemos que, se
dividido por
for função só de
, então
Aqui
que é constante (logo função de
). Assim
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
com
Verificamos agora
logo a equação torna-se exata.
Passo 5
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Diferenciando em relação a ,
Diferenciando em relação a
deve ser igual a
. Logo
e
constante.
Passo 6
A solução geral vem de
Resposta
onde
é constante arbitrária.