Mostre que as seguintes equações diferenciais ordinárias não são exatas. A seguir determine fatores integrantes µ(x, y)µ, e resolva-as.
(10-6 y+e^-3 x) d x-2 d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(10 - 6y + e^-3x),dx ;-;2,dy = 0
Queremos mostrar que ela não é exata, encontrar um fator integrante mu(x,y) que a torne exata e, finalmente, resolver a equação resultante. Para isso, vamos usar o teste de exatidão e a técnica de fatores integrantes dependentes só de x ou só de y.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 10 - 6y + e^-3x, N(x,y) = -2
Calculamos
partial Mpartial y = -6, partial Npartial x = 0
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu que dependa apenas de x. Sabemos que, se
partial Mpartial y - partial Npartial x
dividido por N for função só de x, então
mu(x) = expl(integral partial M/partial y - partial N/partial xN,dxr)
Aqui
partial M/partial y - partial N/partial xN = -6 - 0-2 = 3,
que é constante (logo função de x). Assim
mu(x) = e^integral 3,dx = e^3x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=e^3x:
e^3x(10 - 6y + e^-3x),dx - 2e^3x,dy = 0 Longrightarrow widetilde M,dx + widetilde N,dy = 0
com
widetilde M(x,y) = 10e^3x + 1 - 6y e^3x, widetilde N(x,y) = -2e^3x
Verificamos agora
partial widetilde Mpartial y = -6e^3x, partial widetilde Npartial x = -2cdot3e^3x = -6e^3x,
logo a equação torna-se exata.

Passo 5

Como é exata, existe uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x = widetilde M, partial Fpartial y = widetilde N
Integramos widetilde M em relação a x:
F(x,y) = integral l(10e^3x + 1 - 6y e^3xr),dx = 103e^3x + x - 2y e^3x + h(y),
onde h(y) é função a determinar.
Diferenciando em relação a y,
partial Fpartial y = -2e^3x + h'(y)
deve ser igual a widetilde N = -2e^3x. Logo h'(y)=0 e h(y)= constante.

Passo 6

A solução geral vem de
F(x,y) = constante Longrightarrow 103e^3x + x - 2y e^3x = C

Resposta

103e^3x + x - 2y e^3x = C,
onde C é constante arbitrária.

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