Usando o teorema de existência e unicidade, determine se existe uma solução para os problemas de valor inicial dados abaixo, resolvendo-os, quando possível.
d yd x=raiz9-(x^2+y^2) ; y(1)=2

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
dydx = raiz9 - (x^2 + y^2), y(1)=2,
e pede para usar o Teorema de Existência e Unicidade de Picard– Lindelöf para verificar se existe solução local (e depois resolver quando for possível).

Passo 2

Definimos
f(x,y) = raiz9 - (x^2 + y^2)
O domínio natural de f é o disco aberto
D = (x,y)mid x^2+y^2<9,
pois dentro de D o radicando 9-(x^2+y^2) é positivo. Note que (1,2) satisfaz 1^2+2^2=5<9, logo o ponto inicial está em D.

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Picard– Lindelöf precisamos que
1. f(x,y) seja contínua em D, e
2. partial f/partial y seja contínua em D.
Aqui
f(x,y)=raiz9-(x^2+y^2)
é claramente contínua em D, e
partial fpartial y = -yraiz9-(x^2+y^2)
também é contínua em todo ponto de D (o denominador só zera na fronteira x^2+y^2=9, que não pertence a D). Portanto há existência e unicidade de solução local passando por (1,2).

Passo 4

Tentar resolver explicitamente
dydx = raiz9 - x^2 - y^2
por métodos elementares (separação de variáveis, fator integrante, etc.) não funciona, pois x e y estão misturados dentro da raiz. Não há forma usual de isolar y em função de x usando funções elementares.

Passo 5

Podemos, no máximo, dar a solução de forma implícita por integral não-elementar: em notação de integral de linha
integral2^y(x) duraiz9 - x^2 - u^2 = integral1^x dt,
que define y(x) de modo único em torno de x=1.

Resposta

Existe solução única local em torno de x=1 (pois f e partial f/partial y são contínuas em um bairro de (1,2)), mas não é possível escrever y(x) em forma fechada com funções elementares; a solução fica definida implicitamente pela integral acima.

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