Usando o teorema de existência e unicidade, determine se existe uma solução para os problemas de valor inicial dados abaixo, resolvendo-os, quando possível.
Passo 1
O enunciado nos dá o PVI
e pede para usar o Teorema de Existência e Unicidade de Picard– Lindelöf para verificar se existe solução local (e depois resolver quando for possível).
Passo 2
Definimos
O domínio natural de
é o disco aberto
pois dentro de
o radicando
é positivo. Note que
satisfaz
, logo o ponto inicial está em
.
Passo 3
Para aplicar o Teorema de Picard– Lindelöf precisamos que
.
seja contínua em
, e
.
seja contínua em
.
Aqui
é claramente contínua em
, e
também é contínua em todo ponto de
(o denominador só zera na fronteira
, que não pertence a
). Portanto há existência e unicidade de solução local passando por
.
Passo 4
Tentar resolver explicitamente
por métodos elementares (separação de variáveis, fator integrante, etc.) não funciona, pois
e
estão misturados dentro da raiz. Não há forma usual de isolar
em função de
usando funções elementares.
Passo 5
Podemos, no máximo, dar a solução de forma implícita por integral não-elementar: em notação de integral de linha
que define
de modo único em torno de
.
Resposta
Existe solução única local em torno de
(pois
e
são contínuas em um bairro de
), mas não é possível escrever
em forma fechada com funções elementares; a solução fica definida implicitamente pela integral acima.