Usando o teorema de existência e unicidade, determine se existe uma solução para os problemas de valor inicial dados abaixo, resolvendo-os, quando possível.
d yd x=3 y^2 / 3 ; y(2)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
dydx=3,y^2/3, com y(2)=0.
O conteúdo é o Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais e, em seguida, resolveremos a ODE por separação de variáveis.

Passo 2

Para existência, basta que f(x,y)=3,y^2/3 seja contínua em uma vizinhança de (2,0). Como y^2/3 é contínua em todo R, existe pelo menos uma solução local.
Para unicidade, analisamos
partial fpartial y =3cdot23,y^-1/3 =2,y^-1/3
Esse termo não é contínuo em y=0, logo a condição de Lipschitz em y falha e não podemos garantir unicidade.

Passo 3

Agora resolvemos a ODE por separação de variáveis, supondo yneq0:
dyy^2/3 = 3,dx
Integramos ambos os lados.

Passo 4

A integral do lado esquerdo é
integral y^-2/3,dy =3,y^1/3,
logo após integrar obtemos
3,y^1/3 = 3,x + C
Dividindo por 3 e elevando ao cubo, surge a família
y(x) = l(x + C1r)^3,
com C1 = C/3.

Passo 5

Aplicando a condição y(2)=0, temos
0 = l(2 + C1r)^3 Longrightarrow C1 = -2,
de modo que
y(x) = (x - 2)^3
Além disso, y(x)equiv0 também satisfaz dydx=3,y^2/3 e y(2)=0. Assim, existe mais de uma solução.

Resposta

Existem múltiplas soluções para o PVI. Duas delas são:
y(x) = 0 e y(x) = (x - 2)^3

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