Usando o teorema de existência e unicidade, determine se existe uma solução para os problemas de valor inicial dados abaixo, resolvendo-os, quando possível.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
, com
.
O conteúdo é o Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais e, em seguida, resolveremos a ODE por separação de variáveis.
O conteúdo é o Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais e, em seguida, resolveremos a ODE por separação de variáveis.
Passo 2
Para existência, basta que
seja contínua em uma vizinhança de
. Como
é contínua em todo
, existe pelo menos uma solução local.
Para unicidade, analisamos
Para unicidade, analisamos
Esse termo não é contínuo em
, logo a condição de Lipschitz em
falha e não podemos garantir unicidade.
Passo 3
Agora resolvemos a ODE por separação de variáveis, supondo
:
Integramos ambos os lados.
Passo 4
A integral do lado esquerdo é
logo após integrar obtemos
Dividindo por 3 e elevando ao cubo, surge a família
com
.
Passo 5
Aplicando a condição
, temos
de modo que
Além disso,
também satisfaz
e
. Assim, existe mais de uma solução.
Resposta
Existem múltiplas soluções para o PVI. Duas delas são: