Mostre que as seguintes equações são Exatas e encontre a solução geral.
.
Passo 1
A equação dada é uma equação diferencial de primeira ordem na forma exata, onde podemos escrever
com
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas, e vamos precisar verificar a condição de exatidão e depois encontrar uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais para checar a exatidão:
Como
a equação é exata.
Passo 3
Agora, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Em seguida, impomos
Do
encontrado,
e isso deve ser igual a
Logo,
e integrando obtemos
Passo 5
Portanto, a função potencial completa é
A solução geral da equação diferencial exata vem de
onde
é constante de integração.
Resposta
A solução geral é