Mostre que as seguintes equações são Exatas e encontre a solução geral.
2(x y^2-1x^3)+(2 x^2 y-1y^2) d yd x=0.

Passo 1

A equação dada é uma equação diferencial de primeira ordem na forma exata, onde podemos escrever
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
com
M(x,y)=2l(xy^2-tfrac1x^3r)=2xy^2-2x^-3,
N(x,y)=2x^2y-tfrac1y^2
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas, e vamos precisar verificar a condição de exatidão e depois encontrar uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais para checar a exatidão:
partial Mpartial y=4xy,
partial Npartial x=4xy
Como
partial Mpartial y=partial Npartial x,
a equação é exata.

Passo 3

Agora, existe uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M(x,y)
Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
phi(x,y)=integral(2xy^2-2x^-3),dx=x^2y^2+x^-2+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Em seguida, impomos
partial phipartial y=N(x,y)
Do phi encontrado,
partial phipartial y=2x^2y+h'(y)
e isso deve ser igual a
N(x,y)=2x^2y- y^-2
Logo,
h'(y)=-y^-2,
e integrando obtemos
h(y)=integral -y^-2,dy= y^-1

Passo 5

Portanto, a função potencial completa é
phi(x,y)=x^2y^2+x^-2+y^-1
A solução geral da equação diferencial exata vem de
phi(x,y)=C,
onde C é constante de integração.

Resposta

A solução geral é
x^2y^2+x^-2+1y=C

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