Use a definição de limite para provar os seguintes limites. \lim _{x \rightarrow 1} x^{4}+\frac{1}{x}=2
Passo 1
O enunciado pede provar, usando a definição de limite, que
\lim_{x\to 1} \left(x^{4}+\frac{1}{x}\right)=2.
Informações dadas e objetivo:
A função é f(x)=x^{4}+\dfrac{1}{x}.
O ponto de interesse é x\to 1.
Objetivo: mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta (e x\neq0), temos |f(x)-2|<\varepsilon.
Passo 2
Vou lembrar a definição de limite que vamos usar (explicando as letras):
Definição (epsilon-delta): dizer que \lim_{x\to 1} f(x)=2 significa que para todo \varepsilon>0 dado, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta, segue |f(x)-2|<\varepsilon.
Aqui \varepsilon é a tolerância no valor da função (quão perto queremos que f(x) esteja de 2), e \delta é a tolerância na variável x (o quão perto de 1 devemos tomar x).
Passo 3
Estratégia geral (sem calcular ainda): escrever
\left|x^{4}+\frac{1}{x}-2\right|
de forma que possamos estimá-la por uma constante multiplicada por |x-1|. Então, dado \varepsilon>0, escolhemos \delta pequeno o bastante para forçar essa expressão <\varepsilon. Uma dificuldade possível é o termo 1/x quando x fica perto de 0; isso é contornado restringindo o intervalo de x para que x não se aproxime de 0 (por exemplo tomando \delta\le 1/2 garantimos x próximo de 1 e longe de 0).
Passo 4
Começo manipulando a diferença procurando uma fatoração útil e usando a desigualdade triangular:
Para estimar \big|x^{3}+x^{2}+x+1\big| escolho garantir que x esteja no intervalo \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\right). Isso ocorre sempre que |x-1|<\tfrac{1}{2}. Nesse intervalo temos |x|\le \tfrac{3}{2}, portanto
Agora fazemos a escolha de \delta. Dado um \varepsilon>0, queremos garantir \dfrac{81}{8}|x-1|<\varepsilon. Basta exigir |x-1|<\dfrac{8}{81}\varepsilon. Além disso precisamos da hipótese |x-1|<\tfrac{1}{2} para as estimativas anteriores. Assim escolhemos
Isso conclui a verificação da definição de limite.
Passo 9
Conclusão final do argumento: para todo \varepsilon>0 foi encontrado um \delta>0 (escolhido acima) tal que 0<|x-1|<\delta implica \left|x^{4}+\dfrac{1}{x}-2\right|<\varepsilon. Portanto, pela definição epsilon-delta, \lim_{x\to 1}\left(x^{4}+\dfrac{1}{x}\right)=2.