Use a definição de limite para provar os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 1} x^{4}+\frac{1}{x}=2

Passo 1

O enunciado pede provar, usando a definição de limite, que
\lim_{x\to 1} \left(x^{4}+\frac{1}{x}\right)=2.
Informações dadas e objetivo:
  • A função é f(x)=x^{4}+\dfrac{1}{x}.
  • O ponto de interesse é x\to 1.
  • Objetivo: mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta (e x\neq0), temos |f(x)-2|<\varepsilon.

Passo 2

Vou lembrar a definição de limite que vamos usar (explicando as letras):
  • Definição (epsilon-delta): dizer que \lim_{x\to 1} f(x)=2 significa que para todo \varepsilon>0 dado, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta, segue |f(x)-2|<\varepsilon.
    Aqui \varepsilon é a tolerância no valor da função (quão perto queremos que f(x) esteja de 2), e \delta é a tolerância na variável x (o quão perto de 1 devemos tomar x).

Passo 3

Estratégia geral (sem calcular ainda): escrever
\left|x^{4}+\frac{1}{x}-2\right|
de forma que possamos estimá-la por uma constante multiplicada por |x-1|. Então, dado \varepsilon>0, escolhemos \delta pequeno o bastante para forçar essa expressão <\varepsilon. Uma dificuldade possível é o termo 1/x quando x fica perto de 0; isso é contornado restringindo o intervalo de x para que x não se aproxime de 0 (por exemplo tomando \delta\le 1/2 garantimos x próximo de 1 e longe de 0).

Passo 4

Começo manipulando a diferença procurando uma fatoração útil e usando a desigualdade triangular:
\left|x^{4}+\frac{1}{x}-2\right| = \left|x^{4}-1+\frac{1}{x}-1\right| \le \left|x^{4}-1\right| + \left|\frac{1}{x}-1\right|.

Passo 5

Trato o primeiro termo. Usando fatoração de diferença de potências:
x^{4}-1=(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1),
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\left|x^{4}-1\right| = |x-1|\,\big|x^{3}+x^{2}+x+1\big|.
Para estimar \big|x^{3}+x^{2}+x+1\big| escolho garantir que x esteja no intervalo \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\right). Isso ocorre sempre que |x-1|<\tfrac{1}{2}. Nesse intervalo temos |x|\le \tfrac{3}{2}, portanto
\big|x^{3}+x^{2}+x+1\big|\le |x|^{3}+|x|^{2}+|x|+1 \le \left(\tfrac{3}{2}\right)^{3} + \left(\tfrac{3}{2}\right)^{2} + \tfrac{3}{2} + 1.
Calculo esses termos com denominador comum 8:
\left(\tfrac{3}{2}\right)^{3}=\tfrac{27}{8},\qquad \left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\tfrac{9}{4}=\tfrac{18}{8},\qquad \tfrac{3}{2}=\tfrac{12}{8},\qquad 1=\tfrac{8}{8}.
Somando:
\left(\tfrac{3}{2}\right)^{3} + \left(\tfrac{3}{2}\right)^{2} + \tfrac{3}{2} + 1 = \frac{27+18+12+8}{8} = \frac{65}{8}.
Portanto, sob a hipótese |x-1|<\tfrac{1}{2},
\left|x^{4}-1\right| \le |x-1|\cdot \frac{65}{8}.

Passo 6

Agora trato o segundo termo:
\left|\frac{1}{x}-1\right| = \frac{|x-1|}{|x|}.
Com a mesma hipótese |x-1|<\tfrac{1}{2} obtemos |x|>\tfrac{1}{2}, então \dfrac{1}{|x|}\le 2. Assim
\left|\frac{1}{x}-1\right| \le 2\,|x-1|.

Passo 7

Combinando as duas estimativas (e lembrando que usamos a hipótese |x-1|<\tfrac{1}{2}):
\left|x^{4}+\frac{1}{x}-2\right| \le \frac{65}{8}|x-1| + 2|x-1| = \left(\frac{65}{8}+\frac{16}{8}\right)|x-1| = \frac{81}{8}\,|x-1|.

Passo 8

Agora fazemos a escolha de \delta. Dado um \varepsilon>0, queremos garantir \dfrac{81}{8}|x-1|<\varepsilon. Basta exigir |x-1|<\dfrac{8}{81}\varepsilon. Além disso precisamos da hipótese |x-1|<\tfrac{1}{2} para as estimativas anteriores. Assim escolhemos
\delta=\min\left(\tfrac{1}{2},\,\frac{8}{81}\varepsilon\right).
Então, sempre que 0<|x-1|<\delta temos |x-1|<\tfrac{1}{2} (logo as estimativas valem) e |x-1|<\dfrac{8}{81}\varepsilon, o que implica
\left|x^{4}+\frac{1}{x}-2\right| \le \frac{81}{8}|x-1| < \frac{81}{8}\cdot\frac{8}{81}\varepsilon = \varepsilon.
Isso conclui a verificação da definição de limite.

Passo 9

Conclusão final do argumento: para todo \varepsilon>0 foi encontrado um \delta>0 (escolhido acima) tal que 0<|x-1|<\delta implica \left|x^{4}+\dfrac{1}{x}-2\right|<\varepsilon. Portanto, pela definição epsilon-delta, \lim_{x\to 1}\left(x^{4}+\dfrac{1}{x}\right)=2.

Resposta

2

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