Mostre as seguintes fórmulas por indução, válidas para
:
Dada a sequência (
) definida, por recorrência, como
e
para
Mostre por indução completa que
Dada a sequência (
Passo 1
O enunciado define a sequência
por recorrência. As condições iniciais são
e, para
,
O objetivo é provar, por indução completa, que
para todo
.
Passo 2
Base da indução:
Para temos
e
Para
então a fórmula vale para
.
Para temos
e
Para
logo vale também para
.
Passo 3
Hipótese de indução completa: suponha que para algum
vale
para todo
com
. Em particular, vale para
e
.
Passo 4
Passo de indução: para
, usando a recorrência e a hipótese,
Agora separamos os termos em potências de
e de
:
Somando, obtemos
o que completa a indução.
Resposta
Para todo
,
.