Mostre as seguintes fórmulas por indução, válidas para n \in \mathbb{N} :
Dada a sequência ( a_{n} ) definida, por recorrência, como
a_{0}=a_{1}=2 e a_{n}=2 a_{n-1}+8 a_{n-2}, \quad para n \geqslant 2
Mostre por indução completa que
a_{n}=4^{n}+(-2)^{n}

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) por recorrência. As condições iniciais são
a_0 = 2,\quad a_1 = 2
e, para n\ge 2,
a_n = 2\,a_{n-1} + 8\,a_{n-2}.
O objetivo é provar, por indução completa, que
a_n = 4^n + (-2)^n
para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 2

Base da indução:
Para n=0 temos a_0=2 e
4^0 + (-2)^0 = 1 + 1 = 2,
então a fórmula vale para n=0.
Para n=1 temos a_1=2 e
4^1 + (-2)^1 = 4 - 2 = 2,
logo vale também para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução completa: suponha que para algum n\ge2 vale
a_k = 4^k + (-2)^k
para todo k com 0\le k\le n-1. Em particular, vale para k=n-1 e k=n-2.

Passo 4

Passo de indução: para n\ge2, usando a recorrência e a hipótese,
a_n = 2\,a_{n-1} + 8\,a_{n-2} = 2\bigl(4^{n-1} + (-2)^{n-1}\bigr) +8\bigl(4^{n-2} + (-2)^{n-2}\bigr).
Agora separamos os termos em potências de 4 e de -2:
2\cdot4^{n-1} + 8\cdot4^{n-2} =4^{n-2}\bigl(2\cdot4 + 8\bigr) =4^{n-2}\cdot16 =4^n,
2\cdot(-2)^{n-1} + 8\cdot(-2)^{n-2} =(-2)^{n-2}\bigl(2\cdot(-2) + 8\bigr) =(-2)^{n-2}\cdot4 =(-2)^n.
Somando, obtemos
a_n = 4^n + (-2)^n,
o que completa a indução.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N}, a_n = 4^n + (-2)^n.

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