Entre a Regra 1 / 3 de Simpson Repetida e a Regra 3 / 8 de Simpson Repetida, qual é mais precisa? Justifique sua resposta.
6. Considere o problema de calcular a integral
\int_{0}^{5} x^{2} e^{-x} d x
e considere dois métodos de integração para obter uma aproximação para essa integral:
(a) Aplicar a RTR com N=100 divisões ou;
(b) Aplicar a RSR com 2 N=20 divisões.
Qual regra irá fornecer uma aproximação mais precisa? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado trata de duas comparações envolvendo regras compostas de integração numérica. No primeiro caso, pergunta qual das duas variantes de Simpson repetida — a 1/3 ou a 3/8 — é mais precisa. No segundo caso, compara a Regra do Trapézio Repetida (RTR) com N=100 subdivisões e a Regra de Simpson Repetida (RSR, ou 1/3 composta) com 2N=20 subdivisões, para aproximar
\int_{0}^{5} x^{2}e^{-x}\,dx.
O conteúdo é análise de erro das regras compostas de Newton–Cotes (trapézio e Simpson).

Passo 2

A Regra de Simpson 1/3 composta em n subdivisões uniformes de tamanho h (com n par) tem erro global dado por
E_{1/3} = -\frac{(b-a)}{180}\,h^4\,f^{(4)}(\xi)
para algum \xi\in[a,b]. Logo, E_{1/3}=O(h^4) e o coeficiente é \tfrac{b-a}{180}.

Passo 3

A Regra de Simpson 3/8 composta em n subdivisões uniformes de tamanho h (com n múltiplo de 3) tem erro global
E_{3/8} = -\frac{243\,(b-a)}{240}\,h^4\,f^{(4)}(\eta)
para algum \eta\in[a,b]. Ou seja, E_{3/8}=O(h^4) também, mas o coeficiente é \tfrac{243\,(b-a)}{240}\approx1{,}0125\,(b-a), bem maior que \tfrac{b-a}{180}\approx0{,}0056\,(b-a).

Passo 4

Como ambas têm ordem O(h^4) mas o coeficiente de erro da 1/3 é muito menor que o da 3/8, a Regra de Simpson 1/3 repetida é sempre mais precisa do que a 3/8 repetida, para o mesmo h.

Passo 5

Agora, para
\int_{0}^{5}x^2e^{-x}\,dx,
comparamos
– a Regra do Trapézio Repetida com N=100 h_{\mathrm{T}}=5/100=0{,}05, cujo erro é
E_{\mathrm{T}}=-\frac{(b-a)}{12}\,h_{\mathrm{T}}^2\,f''(\xi),
e
– a Regra de Simpson 1/3 composta com n=20 h_{\mathrm{S}}=5/20=0{,}25, cujo erro é
E_{\mathrm{S}}=-\frac{(b-a)}{180}\,h_{\mathrm{S}}^4\,f^{(4)}(\eta).

Passo 6

Calculamos as máximas derivadas em [0,5]: para f(x)=x^2e^{-x} obtém-se
f''(x)=(x^2-4x+2)e^{-x}, \quad f^{(4)}(x)=(x^2-8x+12)e^{-x}.
Verificando pontos críticos e extremos no intervalo, encontra-se \max|f''(x)|=2 em x=0 e \max|f^{(4)}(x)|=12 em x=0.

Passo 7

Substituindo nos limites de erro:
Para o trapézio,
|E_{\mathrm{T}}|\le \frac{5}{12}\,h_{\mathrm{T}}^2\max|f''| = \frac{5}{12}\,(0{,}05)^2\cdot2 \approx0{,}00208.
Para Simpson,
|E_{\mathrm{S}}|\le \frac{5}{180}\,h_{\mathrm{S}}^4\max|f^{(4)}| = \frac{5}{180}\,(0{,}25)^4\cdot12 \approx0{,}00130.

Passo 8

Comparando 0{,}00130 versus 0{,}00208, a Regra de Simpson 1/3 composta (com 20 subdivisões) produz erro menor que o Trapézio Repetido (com 100 subdivisões).

Resposta

Entre Simpson 1/3 repetida e Simpson 3/8 repetida, a 1/3 é mais precisa.
Na integral \displaystyle\int_{0}^{5}x^2e^{-x}\,dx, a Regra de Simpson 1/3 composta com 20 subdivisões fornece aproximação mais precisa que a Regra do Trapézio Repetida com 100 subdivisões.

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