Entre a Regra
de Simpson Repetida e a Regra
de Simpson Repetida, qual é mais precisa? Justifique sua resposta.
6. Considere o problema de calcular a integral
e considere dois métodos de integração para obter uma aproximação para essa integral:
(a) Aplicar a RTR com
divisões ou;
(b) Aplicar a RSR com
divisões.
Qual regra irá fornecer uma aproximação mais precisa? Justifique sua resposta.
6. Considere o problema de calcular a integral
(a) Aplicar a RTR com
(b) Aplicar a RSR com
Passo 1
O enunciado trata de duas comparações envolvendo regras compostas de integração numérica. No primeiro caso, pergunta qual das duas variantes de Simpson repetida — a 1/3 ou a 3/8 — é mais precisa. No segundo caso, compara a Regra do Trapézio Repetida (RTR) com
subdivisões e a Regra de Simpson Repetida (RSR, ou 1/3 composta) com
subdivisões, para aproximar
O conteúdo é análise de erro das regras compostas de Newton–Cotes (trapézio e Simpson).
Passo 2
A Regra de Simpson 1/3 composta em
subdivisões uniformes de tamanho
(com
par) tem erro global dado por
para algum
. Logo,
e o coeficiente é
.
Passo 3
A Regra de Simpson 3/8 composta em
subdivisões uniformes de tamanho
(com
múltiplo de 3) tem erro global
para algum
. Ou seja,
também, mas o coeficiente é
, bem maior que
.
Passo 4
Como ambas têm ordem
mas o coeficiente de erro da 1/3 é muito menor que o da 3/8, a Regra de Simpson 1/3 repetida é sempre mais precisa do que a 3/8 repetida, para o mesmo
.
Passo 5
Agora, para
comparamos
– a Regra do Trapézio Repetida com , cujo erro é
– a Regra do Trapézio Repetida com
e
– a Regra de Simpson 1/3 composta com , cujo erro é
– a Regra de Simpson 1/3 composta com
Passo 6
Calculamos as máximas derivadas em
: para
obtém-se
Verificando pontos críticos e extremos no intervalo, encontra-se
em
e
em
.
Passo 7
Substituindo nos limites de erro:
Para o trapézio,
Para o trapézio,
Para Simpson,
Passo 8
Comparando
versus
, a Regra de Simpson 1/3 composta (com 20 subdivisões) produz erro menor que o Trapézio Repetido (com 100 subdivisões).
Resposta
Entre Simpson 1/3 repetida e Simpson 3/8 repetida, a 1/3 é mais precisa.
Na integral , a Regra de Simpson 1/3 composta com
subdivisões fornece aproximação mais precisa que a Regra do Trapézio Repetida com
subdivisões.
Na integral