Considere a função f(x) dada pela tabela:
k 0 1 2 3
x_{k} 0 1 2 3
f\left(x_{k}\right) 0 0 0 0
e o polinômio dado por p(x)=x(x-1)(x-2)(x-3).
(a) Verifique que p\left(x_{k}\right)=f\left(x_{k}\right), k=0,1,2,3.
(b) O polinômio p(x) é o polinômio que interpola f(x) sobre os pontos 0,1,2 e 3 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá os pontos \displaystyle x_0=0,\;x_1=1,\;x_2=2,\;x_3=3
e a função f cujos valores são
f(0)=0,\;f(1)=0,\;f(2)=0,\;f(3)=0.
O polinômio considerado é
p(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),
que interpola f? Vamos primeiro verificar a igualdade em cada x_k e depois discutir unicidade do polinômio de interpolação.

Passo 2

Para cada k=0,1,2,3 há um fator em p(x) que zera p\bigl(x_k\bigr):
- k=0: \displaystyle p(0)=0\cdot(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)=0.
- k=1: \displaystyle p(1)=1\cdot0\cdot(-1)\cdot(-2)=0.
- k=2: \displaystyle p(2)=2\cdot1\cdot0\cdot(-1)=0.
- k=3: \displaystyle p(3)=3\cdot2\cdot1\cdot0=0.
Logo, para todo k,
p\bigl(x_k\bigr)=0=f\bigl(x_k\bigr).

Passo 3

O teorema de interpolação diz que, em quatro pontos distintos, existe um único polinômio de grau no máximo 3 que assume os valores dados. Como f(x_k)=0 em todos, esse polinômio único de grau \le3 é o polinômio zero. Contudo, p(x) tem grau 4>3, logo não é o polinômio de interpolação canônico de grau \le3.

Resposta

(a) Para k=0,1,2,3 temos
p\bigl(x_k\bigr)=0=f\bigl(x_k\bigr).
(b) Não. O polinômio de interpolação em quatro pontos deve ter grau \le3 e é único (aqui é o polinômio zero), mas p(x) é de grau 4.

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