Considere a função
dada pela tabela:
0
1
2
3
0
1
2
3
0
0
0
0
e o polinômio dado por
.
(a) Verifique que
.
(b) O polinômio
é o polinômio que interpola
sobre os pontos
e 3 ? Justifique sua resposta.
|
0 | 1 | 2 | 3 |
|
0 | 1 | 2 | 3 |
|
0 | 0 | 0 | 0 |
(a) Verifique que
(b) O polinômio
Passo 1
O enunciado dá os pontos
e a função cujos valores são
e a função
O polinômio considerado é
que interpola
? Vamos primeiro verificar a igualdade em cada
e depois discutir unicidade do polinômio de interpolação.
Passo 2
Para cada
há um fator em
que zera
:
- :
.
- :
.
- :
.
- :
.
Logo, para todo ,
-
-
-
-
Logo, para todo
Passo 3
O teorema de interpolação diz que, em quatro pontos distintos, existe um único polinômio de grau no máximo
que assume os valores dados. Como
em todos, esse polinômio único de grau
é o polinômio zero. Contudo,
tem grau
, logo não é o polinômio de interpolação canônico de grau
.
Resposta
(a) Para
temos
(b) Não. O polinômio de interpolação em quatro pontos deve ter grau
e é único (aqui é o polinômio zero), mas
é de grau
.