Mostre as seguintes fórmulas por indução, válidas para
:
, para todo
.
Passo 1
O enunciado quer que a gente prove, usando o princípio da indução matemática, que para todo
com
vale
O conteúdo principal é o método de indução: primeiro verificamos o caso base, depois supomos que a propriedade vale para um certo
e mostramos que ela também vale para
.
Passo 2
Caso base
. Calculamos
e
Como
, a desigualdade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que para algum
já temos
Passo 4
Passo indutivo. Queremos mostrar que
Começamos por
Bastará, então, verificar que
Como
, dividimos ambos os lados por
e obtemos
O polinômio
é crescente para
e em
já vale
. Logo, para todo
temos de sobra
, e assim
Isso fecha o passo indutivo.
Resposta
Portanto, por indução matemática, para todo
com
vale