Mostre as seguintes fórmulas por indução, válidas para n \in \mathbb{N} :
n!>n^{2}, para todo n \geqslant 4.

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove, usando o princípio da indução matemática, que para todo n\in\mathbb{N} com n\ge4 vale
n! > n^2.
O conteúdo principal é o método de indução: primeiro verificamos o caso base, depois supomos que a propriedade vale para um certo k\ge4 e mostramos que ela também vale para k+1.

Passo 2

Caso base n=4. Calculamos
4! = 24
e
4^2 = 16.
Como 24 > 16, a desigualdade vale para n=4.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que para algum k\ge4 já temos
k! > k^2.

Passo 4

Passo indutivo. Queremos mostrar que
(k+1)! > (k+1)^2.
Começamos por
(k+1)! = (k+1)\,k! \quad\stackrel{\text{HI}}{>}\quad (k+1)\,k^2.
Bastará, então, verificar que
(k+1)\,k^2 \;\ge\;(k+1)^2.
Como k+1>0, dividimos ambos os lados por k+1 e obtemos
k^2 \ge k+1 \quad\Longleftrightarrow\quad k^2 - k - 1 \ge 0.
O polinômio k^2 - k - 1 é crescente para k\ge1 e em k=2 já vale 2^2-2-1=1>0. Logo, para todo k\ge4 temos de sobra k^2 - k - 1 > 0, e assim
(k+1)! > (k+1)\,k^2 \ge (k+1)^2.
Isso fecha o passo indutivo.

Resposta

Portanto, por indução matemática, para todo n\in\mathbb{N} com n\ge4 vale
n! > n^2.

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