Mostre as seguintes fórmulas por indução, válidas para n \in \mathbb{N} :
\frac{1}{1 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 9}+\cdots+\frac{1}{(4 n-3)(4 n+1)}=\frac{n}{(4 n+1)}, para todo n \geqslant 1.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que a soma
\frac{1}{1\cdot5}+\frac{1}{5\cdot9}+\cdots+\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}
é igual a
\frac{n}{4n+1},
para todo n\in\mathbb{N}, n\ge1. O conteúdo é prova por indução e vamos precisar verificar a base, formular a hipótese indutiva e fazer o passo indutivo.

Passo 2

Base da indução n=1:
\frac{1}{(4\cdot1-3)(4\cdot1+1)}=\frac{1}{1\cdot5}=\frac{1}{5}
e
\frac{1}{4\cdot1+1}=\frac{1}{5}.
Logo, para n=1 a igualdade
\frac{1}{1\cdot5}=\frac{1}{4\cdot1+1}
é verdadeira.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para algum k\ge1, valha
\frac{1}{1\cdot5}+\frac{1}{5\cdot9}+\cdots+\frac{1}{(4k-3)(4k+1)} =\frac{k}{4k+1}.

Passo 4

Passo indutivo: vamos mostrar que a soma até n=k+1 satisfaz
\frac{1}{1\cdot5}+\cdots+\frac{1}{(4k-3)(4k+1)} +\frac{1}{(4(k+1)-3)(4(k+1)+1)} =\frac{k+1}{4(k+1)+1}.
Pela hipótese, a soma até k é \tfrac{k}{4k+1}. Assim, a soma até k+1 é
\frac{k}{4k+1} +\frac{1}{(4k+1)(4k+5)}.
Colocando sobre o mesmo denominador (4k+1)(4k+5), o numerador fica
k(4k+5)+1 =4k^2+5k+1.
Por outro lado, o numerador de \tfrac{k+1}{4k+5} escrito com denominador (4k+1)(4k+5) é
(k+1)(4k+1)=4k^2+5k+1.
Como os numeradores e denominadores coincidem, concluímos
\frac{k}{4k+1}+\frac{1}{(4k+1)(4k+5)} =\frac{k+1}{4k+5} =\frac{k+1}{4(k+1)+1}.

Passo 5

Concluímos que, se a fórmula vale para n=k, então vale para n=k+1. Como também vale para n=1, por indução matemática ela é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}, n\ge1.

Resposta

\frac{1}{1\cdot5}+\frac{1}{5\cdot9}+\cdots+\frac{1}{(4n-3)(4n+1)} =\frac{n}{4n+1},\quad\forall n\in\mathbb{N},\,n\ge1.

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