Mostre as seguintes fórmulas por indução, válidas para
:
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, que a soma
é igual a
para todo
,
. O conteúdo é prova por indução e vamos precisar verificar a base, formular a hipótese indutiva e fazer o passo indutivo.
Passo 2
Base da indução
:
e
Logo, para
a igualdade
é verdadeira.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que, para algum
, valha
Passo 4
Passo indutivo: vamos mostrar que a soma até
satisfaz
Pela hipótese, a soma até
é
. Assim, a soma até
é
Colocando sobre o mesmo denominador
, o numerador fica
Por outro lado, o numerador de
escrito com denominador
é
Como os numeradores e denominadores coincidem, concluímos
Passo 5
Concluímos que, se a fórmula vale para
, então vale para
. Como também vale para
, por indução matemática ela é verdadeira para todo
,
.