Mostre as seguintes fórmulas por indução, válidas para n \in \mathbb{N} :
Sejam x, y \in \mathbb{Z} e n \in \mathbb{N}. Prove por indução sobre n que:
(x+y)^{n}=x^{n}+\binom{n}{1} x^{n-1} y+\binom{n}{2} x^{n-2} y^{2}+\cdots+\binom{n}{i} x^{n-i} y^{i}+\cdots+y^{n}

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução sobre n, a fórmula do binômio de Newton, ou seja:
(x+y)^{n} = \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^{\,n-i}y^{\,i} = x^{n} +\binom{n}{1}x^{n-1}y +\binom{n}{2}x^{n-2}y^{2} +\cdots +y^{n}.
Vamos usar o princípio da indução finita, que consiste em:
  1. Verificar a validade para n=0 (caso base).
  2. Assumir a fórmula verdadeira para um n\ge0 (hipótese de indução) e provar para n+1 (passo indutivo).
    Também precisaremos da identidade de Pascal:
\binom{n}{i}+\binom{n}{i-1}=\binom{n+1}{i}.

Passo 2

(Caso base n=0).
Pelo convênio de potências, (x+y)^{0}=1. Do outro lado,
\sum_{i=0}^{0}\binom{0}{i}x^{0-i}y^{i} =\binom{0}{0}x^{0}y^{0}=1\cdot1\cdot1=1.
Logo a fórmula é verdadeira para n=0.

Passo 3

(Hipótese de indução).
Suponha que para um certo n\ge0 valha
(x+y)^{n} =\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^{\,n-i}y^{\,i}.

Passo 4

(Passo indutivo: expansão para n+1).
Começamos por escrever
(x+y)^{n+1}=(x+y)\,(x+y)^{n} =(x+y)\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^{\,n-i}y^{\,i}.
Distribuindo em dois somatórios:
(x+y)^{n+1} =\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^{\,n-i+1}y^{\,i} +\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^{\,n-i}y^{\,i+1}.

Passo 5

(Combinação dos somatórios e uso de Pascal).
Na segunda soma, façamos a troca de índice j=i+1. Quando i varia de 0 a n, j varia de 1 a n+1. Assim:
\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^{\,n-i}y^{\,i+1} = \sum_{j=1}^{n+1}\binom{n}{\,j-1\,}x^{\,n-(j-1)}y^{\,j} = \sum_{j=1}^{n+1}\binom{n}{j-1}x^{\,n+1-j}y^{\,j}.
Agora, junte os termos dos dois somatórios para cada potência x^{\,n+1-k}y^{\,k}:
  • Para k=0, só vem do primeiro somatório com coeficiente \binom{n}{0}=\!1.
  • Para 1\le k\le n, vêm um termo \binom{n}{k}x^{\,n+1-k}y^{\,k} e outro \binom{n}{k-1}x^{\,n+1-k}y^{\,k}. Pela identidade de Pascal,
    \binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}.
  • Para k=n+1, só vem da segunda soma com coeficiente \binom{n}{n}=1.
    Portanto
(x+y)^{n+1} =\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}x^{\,n+1-k}y^{\,k},
que é exatamente o caso n+1.

Resposta

A fórmula do binômio de Newton
(x+y)^{n} =\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^{\,n-i}y^{\,i}
vale para todo n\in\mathbb{N}.

Exercícios relacionados