Mostre as seguintes fórmulas por indução, válidas para
:
Sejam
e
. Prove por indução sobre
que:
Sejam
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução sobre
, a fórmula do binômio de Newton, ou seja:
Vamos usar o princípio da indução finita, que consiste em:
- Verificar a validade para
(caso base). - Assumir a fórmula verdadeira para um
(hipótese de indução) e provar para (passo indutivo).
Também precisaremos da identidade de Pascal:
Passo 2
(Caso base
).
Pelo convênio de potências, . Do outro lado,
Pelo convênio de potências,
Logo a fórmula é verdadeira para
.
Passo 3
(Hipótese de indução).
Suponha que para um certo valha
Suponha que para um certo
Passo 4
(Passo indutivo: expansão para
).
Começamos por escrever
Começamos por escrever
Distribuindo em dois somatórios:
Passo 5
(Combinação dos somatórios e uso de Pascal).
Na segunda soma, façamos a troca de índice . Quando
varia de
a
,
varia de
a
. Assim:
Na segunda soma, façamos a troca de índice
Agora, junte os termos dos dois somatórios para cada potência
:
- Para
, só vem do primeiro somatório com coeficiente . - Para
, vêm um termo e outro . Pela identidade de Pascal,
- Para
, só vem da segunda soma com coeficiente .
Portanto
que é exatamente o caso
.
Resposta
A fórmula do binômio de Newton
vale para todo
.