Mostre que as seguintes funções são diferenciáveis em
.
Passo 1
Neste exercício, vamos mostrar que a função
é diferenciável em todo o espaço
. Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e condições de diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a análise. Note que
, onde
representa a distância do ponto
à origem. Reescrevendo a função em termos de
:
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 4
Para verificar a diferenciabilidade da função
, precisamos demonstrar que as derivadas parciais em relação a
e
existem e são contínuas em
.
Passo 5
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Sabemos que:
Passo 6
Calculando
:
Passo 7
Substituindo de volta na derivada parcial em relação a
:
Essa expressão é contínua para todo
, ou seja, para todo
.
Passo 8
Realizando um cálculo semelhante para a derivada parcial em relação a
, obteremos uma expressão igualmente contínua para toda
.
Resposta
A função
é diferenciável em todo o espaço
.