Mostre que as seguintes funções são diferenciáveis em R^2.
f(x, y)=(x^2+y^2) 1-raizx^2+y^21+raizx^2+y^2

Passo 1

Neste exercício, vamos mostrar que a função f(x, y) = (x^2 + y^2) 1 - raizx^2 + y^21 + raizx^2 + y^2 é diferenciável em todo o espaço R^2. Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e condições de diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a análise. Note que raizx^2 + y^2 = r, onde r representa a distância do ponto (x, y) à origem. Reescrevendo a função em termos de r:
f(x, y) = r^2 cdot 1 - r1 + r

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão:
f(x, y) = r^2 cdot 1 - r1 + r = r^2 ( 11 + r - r1 + r ) = r^2 - r^31 + r

Passo 4

Para verificar a diferenciabilidade da função f, precisamos demonstrar que as derivadas parciais em relação a x e y existem e são contínuas em R^2.

Passo 5

Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x. Usando a regra da cadeia:
partial fpartial x = partial fpartial r cdot partial rpartial x
Sabemos que:
partial rpartial x = xr

Passo 6

Calculando partial fpartial r:
f(r) = r^2 - r^31 + r
partial fpartial r = (2r - 3r^2)(1 + r) - (r^2 - r^3)(1 + r)^2
partial fpartial r = 2r + 2r^2 - 3r^2 - 3r^3 - r^2 + r^3(1 + r)^2
partial fpartial r = 2r - 2r^2 - 2r^3(1 + r)^2
partial fpartial r = 2r(1 - r - r^2)(1 + r)^2

Passo 7

Substituindo de volta na derivada parcial em relação a x:
partial fpartial x = 2r(1 - r - r^2)(1 + r)^2 cdot xr = 2x(1 - r - r^2)(1 + r)^2
Essa expressão é contínua para todo r >= 0, ou seja, para todo (x, y) in R^2.

Passo 8

Realizando um cálculo semelhante para a derivada parcial em relação a y, obteremos uma expressão igualmente contínua para toda R^2.

Resposta

A função f(x, y) é diferenciável em todo o espaço R^2.

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