Mostre que as seguintes funções são diferenciáveis em
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos mostrar que ela é diferenciável em
. Isso significa que queremos verificar se essa função tem derivadas parciais contínuas nesse espaço, o que garante que ela é diferenciável ali. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis da função. Embora o enunciado mencione
, a função
depende de três variáveis:
,
e
. Isso sugere que a função está definida em
. Então, assumindo que seja
, vamos prosseguir.
Passo 3
Para mostrar que
é diferenciável em
, precisamos verificar se todas as derivadas parciais de
em relação a cada variável existem e são contínuas em todo
. Se isso for verdade, então
é diferenciável nesse espaço.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas em
. A função seno,
, é contínua em todos os pontos, e os polinômios
e
também são funções contínuas. Além disso, produtos e composições de funções contínuas são contínuas. Portanto, todas as derivadas parciais de
são contínuas em
.
Passo 6
Como as derivadas parciais de
existem e são contínuas em todo
, podemos concluir, pela definição de diferenciabilidade, que
é diferenciável em
.
Resposta
A função
é diferenciável em
.