Mostre que as seguintes funções são diferenciáveis em R^2.
f(x, y, z)=cos (x+y^2+z^3)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função f(x, y, z) = cos(x + y^2 + z^3) e precisamos mostrar que ela é diferenciável em R^2 . Isso significa que queremos verificar se essa função tem derivadas parciais contínuas nesse espaço, o que garante que ela é diferenciável ali. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis da função. Embora o enunciado mencione R^2 , a função f depende de três variáveis: x , y e z . Isso sugere que a função está definida em R^3 . Então, assumindo que seja R^3 , vamos prosseguir.

Passo 3

Para mostrar que f é diferenciável em R^3 , precisamos verificar se todas as derivadas parciais de f em relação a cada variável existem e são contínuas em todo R^3 . Se isso for verdade, então f é diferenciável nesse espaço.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x , y e z .
  1. Derivada parcial em relação a x :
partial fpartial x = -sin(x + y^2 + z^3) cdot partialpartial x(x + y^2 + z^3) = -sin(x + y^2 + z^3) cdot 1 = -sin(x + y^2 + z^3)
  1. Derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y = -sin(x + y^2 + z^3) cdot partialpartial y(x + y^2 + z^3) = -sin(x + y^2 + z^3) cdot 2y = -2y sin(x + y^2 + z^3)
  1. Derivada parcial em relação a z :
partial fpartial z = -sin(x + y^2 + z^3) cdot partialpartial z(x + y^2 + z^3) = -sin(x + y^2 + z^3) cdot 3z^2 = -3z^2 sin(x + y^2 + z^3)

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas em R^3 . A função seno, sin , é contínua em todos os pontos, e os polinômios y^2 e z^3 também são funções contínuas. Além disso, produtos e composições de funções contínuas são contínuas. Portanto, todas as derivadas parciais de f são contínuas em R^3 .

Passo 6

Como as derivadas parciais de f existem e são contínuas em todo R^3 , podemos concluir, pela definição de diferenciabilidade, que f é diferenciável em R^3 .

Resposta

A função f(x, y, z) = cos(x + y^2 + z^3) é diferenciável em R^3 .

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