Verifique que
\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x=2 e^{\sqrt{x}}+c

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a integral integral e^raizxraizx , dx. Esse exercício está no tópico de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar substituir uma parte da expressão para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a conta. Vamos chamar u = raizx . Isso significa que u é igual à raiz quadrada de x .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du em termos de dx . Sabemos que se u = raizx , então:
u = x^1/2
Derivando ambos os lados em relação a x :
dudx = 12 x^-1/2
Multiplicando ambos os lados por dx :
du = 12 cdot 1raizx , dx

Passo 4

Queremos expressar 1raizx , dx em termos de du . Vamos rearranjar a equação anterior:
1raizx , dx = 2 , du

Passo 5

Agora, substituímos na integral original usando u e du :
integral e^raizxraizx , dx = integral e^u cdot 2 , du
Isso simplifica para:
2 integral e^u , du

Passo 6

Sabemos que a integral de e^u em relação a u é e^u . Então:
2 integral e^u , du = 2 e^u + C

Passo 7

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = raizx :
2 e^u + C = 2 e^raizx + C

Resposta

integral e^raizxraizx , dx = 2 e^raizx + C

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