Sejam os pontos A=(1,1), B=(4,5) e C=(5,4). Determinar a derivada direcional da função f(x, y)=sen(x^2+y^2) no ponto (1,1) na direção da bissetriz do ângulo measuredang<= B A C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no plano: A=(1,1), B=(4,5) e C=(5,4). A função que vamos analisar é f(x, y) = sin(x^2 + y^2). Nosso objetivo é encontrar a derivada direcional dessa função no ponto (1,1), na direção da bissetriz do ângulo formado por B, A e C ( measuredang<= BAC). Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais, vetores direções, bissetriz de um ângulo e como calcular a derivada direcional usando o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a direção da bissetriz do ângulo measuredang<= BAC. Para isso, precisamos encontrar os vetores que representam os lados do ângulo em A, ou seja, os vetores AB e AC.
O vetor AB é dado por B - A = (4-1, 5-1) = (3,4).
O vetor AC é dado por C - A = (5-1, 4-1) = (4,3).

Passo 3

Agora, para encontrar a bissetriz, usamos a fórmula que dá a direção da bissetriz interno de um ângulo entre dois vetores. A bissetriz é proporcional à soma dos vetores AB e AC, cada um multiplicado pelo inverso do seu comprimento.
Primeiro, calculamos o comprimento de cada vetor:
|AB| = raiz3^2 + 4^2 = 5,
|AC| = raiz4^2 + 3^2 = 5.
Como os comprimentos são iguais, a bissetriz será simplesmente a soma dos vetores:
BD = AB + AC = (3+4, 4+3) = (7,7).

Passo 4

Agora, precisamos transformar esse vetor da bissetriz em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1, porque a derivada direcional usa uma direção normalizada.
O comprimento de BD = (7,7) é:
|BD| = raiz7^2 + 7^2 = raiz49 + 49 = raiz98 = 7raiz2.
Então, o vetor unitário u na direção da bissetriz é:
u = ( dfrac77raiz2, dfrac77raiz2 ) = ( dfrac1raiz2, dfrac1raiz2 ).

Passo 5

Agora, vamos encontrar o gradiente da função f(x, y) = sin(x^2 + y^2). O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a x e y.
Calculamos:
dfracpartial fpartial x = cos(x^2 + y^2) cdot 2x,
dfracpartial fpartial y = cos(x^2 + y^2) cdot 2y.
Então, o gradiente é:
nabla f(x, y) = ( 2x cos(x^2 + y^2), 2y cos(x^2 + y^2) ).

Passo 6

Vamos avaliar o gradiente no ponto (1,1):
nabla f(1, 1) = ( 2(1) cos(1^2 + 1^2), 2(1) cos(1^2 + 1^2) ) = ( 2 cos(2), 2 cos(2) ).

Passo 7

Agora, para encontrar a derivada direcional, calculamos o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário na direção da bissetriz:
Du f(1,1) = nabla f(1,1) cdot u = ( 2 cos(2), 2 cos(2) ) cdot ( dfrac1raiz2, dfrac1raiz2 ).

Passo 8

Fazendo o produto escalar:
Du f(1,1) = 2 cos(2) cdot dfrac1raiz2 + 2 cos(2) cdot dfrac1raiz2 = dfrac2 cos(2)raiz2 + dfrac2 cos(2)raiz2 = dfrac4 cos(2)raiz2.
Podemos simplificar dfrac4raiz2 para 2raiz2, então:
Du f(1,1) = 2raiz2 cos(2).

Resposta

A derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção da bissetriz do ângulo BAC é 2raiz2 cos(2).

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