Sejam os pontos
e
. Determinar a derivada direcional da função
no ponto
na direção da bissetriz do ângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no plano:
,
e
. A função que vamos analisar é
. Nosso objetivo é encontrar a derivada direcional dessa função no ponto
, na direção da bissetriz do ângulo formado por
,
e
(
). Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais, vetores direções, bissetriz de um ângulo e como calcular a derivada direcional usando o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a direção da bissetriz do ângulo
. Para isso, precisamos encontrar os vetores que representam os lados do ângulo em
, ou seja, os vetores
e
.
O vetor
é dado por
.
O vetor
é dado por
.
Passo 3
Agora, para encontrar a bissetriz, usamos a fórmula que dá a direção da bissetriz interno de um ângulo entre dois vetores. A bissetriz é proporcional à soma dos vetores
e
, cada um multiplicado pelo inverso do seu comprimento.
Primeiro, calculamos o comprimento de cada vetor:
Como os comprimentos são iguais, a bissetriz será simplesmente a soma dos vetores:
Passo 4
Agora, precisamos transformar esse vetor da bissetriz em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1, porque a derivada direcional usa uma direção normalizada.
O comprimento de
é:
Então, o vetor unitário
na direção da bissetriz é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
.
Calculamos:
Então, o gradiente é:
Passo 6
Vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 7
Agora, para encontrar a derivada direcional, calculamos o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário na direção da bissetriz:
Passo 8
Fazendo o produto escalar:
Podemos simplificar
para
, então:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção da bissetriz do ângulo
é
.