Mostre que as seguintes funções são harmônicas:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é harmônica. Isto significa verificar que
é duas vezes continuamente diferenciável e que satisfaz a equação de Laplace
Passo 2
Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Como
, temos
Passo 3
A seguir, obtemos as segundas derivadas:
Passo 4
Agora somamos essas segundas derivadas para formar o Laplaciano:
Como
, concluímos que
satisfaz a equação de Laplace.
Resposta
A função
é harmônica, pois
.