Mostre que as seguintes funções são harmônicas:
f(x, y)=e^x sen(y)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=e^xsin(y)
é harmônica. Isto significa verificar que f é duas vezes continuamente diferenciável e que satisfaz a equação de Laplace
De<a f = fxx + fyy = 0

Passo 2

Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Como f(x,y)=e^xsin(y), temos
fx(x,y)=partialpartial xl(e^xsin(y)r)=e^xsin(y),
fy(x,y)=partialpartial yl(e^xsin(y)r)=e^xcos(y)

Passo 3

A seguir, obtemos as segundas derivadas:
fxx(x,y)=partialpartial xl(e^xsin(y)r)=e^xsin(y),
fyy(x,y)=partialpartial yl(e^xcos(y)r)=-,e^xsin(y)

Passo 4

Agora somamos essas segundas derivadas para formar o Laplaciano:
De<a f = fxx+fyy =e^xsin(y) + l(-e^xsin(y)r) =0
Como De<a f=0, concluímos que f satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

A função f(x,y)=e^xsin(y) é harmônica, pois De<a f=0.

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